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Equilibrios de un péndulo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Trace la curva de energía potencial para un péndulo rígido de longitud L del que cuelga una masa m, en función del ángulo θ con el que se separa de la vertical. Suponga que el punto más bajo corresponda a U = 0. A la vista de la curva,

  1. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
  2. ¿Cómo es el movimiento si la energía mecánica vale mgL? ¿Y si vale 3mgL?

2 Curva de potencial

La lenteja del péndulo está sometida a dos fuerzas: el peso y la tensión de la barra.

Archivo:Pendulo-Fvatan.gif

La tensión es siempre perpendicular al desplazamiento (ya que el desplazamiento es a lo largo de una circunferencia, mientras que la tensión es radial), por ello no realiza ningún trabajo y no influye en la conservación de la energía.

Por tanto, la única energía potencial es la gravitatoria

U = mgz\,

La altura z la podemos poner en función del ángulo que el péndulo forma con la vertical. Si tomamos como referencia de alturas el punto más bajo del péndulo, la altura en el momento que forma un ángulo \theta con la vertical es

z = L - L\cos(\theta)\,

por lo que la energía potencial puede escribirse en la forma

U(\theta) = mgL(1-\cos(\theta))\,

La gráfica de esta función es una sinusoide con el mínimo en θ = 0. En principio, la gráfica se extiende solo al rango [ − π,π]. Sin embargo, para incluir la posibilidad de que el péndulo pueda superar la posición del máximo y dar vueltas completas, extendemos la gráfica a valores mayores de θ por ambos extremos.

Archivo:energia-pendulo-02.png

Una forma más correcta, pero más difícil de ver, sería “enrollar” la gráfica de forma que el ángulo −π coincida con π. En esta gráfica, la curva de potencial tiene forma de una elipse trazada sobre un cilindro.

Archivo:energia-pendulo-03.png

3 Puntos de equilibrio

Los puntos de equilibrio son los extremos de la curva de potencial. Estos son dos:

  • θ = 0 en el cual la energía tiene un mínimo U = 0 y por tanto es un punto de equilibrio estable.
  • \theta = \pm \pi (los dos valores son el mismo punto) en el cual la energía tiene un máximo U = 2mgL y por tanto es un punto de equilibrio estable.
Archivo:pendulo-estable.png Archivo:pendulo-inestable.png
Estable Inestable

Alrededor del mínimo, se puede desarrollar la energía potencial en serie de Taylor

U(\theta) = U(0) + \theta U'(0) + \frac{1}{2}\theta^2 U''(0)+\cdots

siendo

U(0) = mgL(1-\cos(0)) = 0\qquad\qquad U'(0) = mgL\,\mathrm{sen}(0) = 0\qquad\qquad U''(0) = mgL\cos(0)=mgL

lo que permite aproximar la energía por una parábola

U(\theta)\simeq \frac{1}{2}mgL\theta^2

A partir de aquí se llega a que el movimiento es aproximadamente armónico, tal como se ve en otro problema.

4 Casos particulares

Cuando la energía mecánica vale

E=mgL\,

la energía es menor que la del máximo. Por tanto el movimiento es acotado, con dos puntos de retorno. Físicamente esto implica que el péndulo oscila periódicamente.

En el segundo caso,

E=3mgL\,

la energía es mayor que la del máximo, por lo que el movimiento es no acotado. Físicamente, esto quiere decir que el péndulo llega hasta el punto más alto con una cierta velocidad, y continúa su marcha, describiendo vueltas completas, más rápidas en la parte inferior y más lentas en la superior.

Archivo:energia-pendulo-04.png        Archivo:energia-pendulo-05.png

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