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Enunciado de Kelvin-Planck

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Cuando se estudian las máquinas térmicas se obtiene que el rendimiento de estas máquinas viene dado por

\eta = \frac{|W|}{|Q_c|} = 1-\frac{|Q_f|}{|Q_c|}

siendo | W | el trabajo neto realizado por la máquina, | Qc | el calor que absorbe del foco caliente para realizar dicho trabajo y | Qf | el calor de desecho que es entregado al foco frío (normalmente el ambiente).

A la hora de aumentar la eficiencia de una máquina, el primer objetivo sería reducir, o eliminar si es posible, ese calor de desecho. Se plantean dos alternativas

  • ¿Es posible una máquina térmica que no genere calor de desecho, sino que todo el calor absorbido se transforme en trabajo neto?
  • ¿Es posible una reutilización del calor de desecho, de forma que se haga recircular y se incluya en el calor absorbido?

La respuesta a ambas preguntas es negativa.

2 Enunciado

El enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio de la termodinámica es el siguiente:

Es imposible construir una máquina que, operando ciclicamente, produzca como único efecto la extracción de calor de un foco y la realización de una cantidad equivalente de trabajo

Este enunciado afirma la imposibilidad de construir una máquina que convierta todo el calor en trabajo. Siempre es necesario intercambiar calor con un segundo foco (el foco frío), de forma que parte del calor absorbido se expulsa como calor de desecho al ambiente.

Matemáticamente, esto implica que el rendimiento de una máquina térmica, que según el Primer Principio de la Termodinámica podría ser igual a la unidad, es en realidad siempre menor que la unidad

\eta = \frac{|W|}{|Q_c|}=1-\frac{|Q_f|}{|Q_c|}<1

El enunciado de Kelvin-Planck está enunciado de manera negativa: nos dice lo que no es posible, no lo que es posible. Se expone además sin justificación previa: simplemente refleja un hecho empírico, que no ha sido refutado por ninguna experiencia. Es posible, no obstante, justificar el segundo principio de la termodinámica acudiendo a la visión microscópica de los sistemas.

Este enunciado establece una asimetría entre calor y trabajo. Mientras que según el primer principio ambas son formas de variar la energía interna de un sistema, el segundo principio establece una clara diferencia:

  • Una máquina puede transformar todo el trabajo en calor (es lo que hace una estufa eléctrica, por ejemplo).
  • Una máquina no puede transformar todo el calor en trabajo.

En el enunciado de Kelvin-Planck es importante la palabra “cíclicamente” ya que sí es posible transformar todo el calor en trabajo, siempre que no sea en un proceso cíclico. Por ejemplo, en una expansión isoterma suministramos calor a un gas de forma que éste aumenta su volumen, realizando trabajo. Todo el calor se transforma en trabajo, pero el proceso no es cíclico, ya que el volumen final del sistema es diferente del inicial.

3 Relación con el teorema de Carnot

En principio, el enunciado de Kelvin Plack establece que el rendimiento de una máquina térmica es siempre menor a la unidad. Así, podría parecer que que sí sería posible, por ejemplo, un rendimiento del 99%. Sin embargo, no es así.

El teorema de Carnot, equivalente al enunciado de Kelvin-Planck, establece que el rendimiento de una máquina térmica nunca puede ser superior al de una máquina térmica reversible que opere entre las dos temperaturas extremas, siendo este rendimiento máximo

\eta \leq \eta_\mathrm{max}= 1-\frac{T_f}{T_c}

En la mayoría de las situaciones prácticas, este valor máximo está muy por debajo de la unidad, por lo que el segundo principio de la termodinámica establece unos límites estrictos al posible aprovechamiento del calor.

4 Relación con el aumento de entropía

Una máquina que violara el enunciado de Kelvin-Planck claramente produciría una disminución de entropía del universo:

  • La entropía del sistema (la máquina) no cambia en un ciclo, por ser la entropía una función de estado.
  • La entropía del ambiente disminuye, ya que cede calor Qc a una temperatura Tc.

La variación total de entropía sería

\Delta S^\mathrm{u} = \Delta S^\mathrm{sis} + \Delta S^\mathrm{amb} = 0 -\frac{Q_c}{T} < 0

lo que define a este proceso como imposible.

Podemos dar una relación más precisa entre trabajo, calor absorbido y aumento de entropía. En una máquina que trabaja entre dos focos se verifica

|W|=\left(1-\frac{T_f}{T_c}\right)|Q_c| - T_f \Delta S^\mathrm{u}

lo que nos dice que el trabajo que puede obtenerse de una máquina es como máximo

|W|_\mathrm{max} = \left(1-\frac{T_f}{T_c}\right)|Q_c| < |Q_c|

que es de nuevo el enunciado de Kelvin-Planck.

5 Irreversibilidad mecánica

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