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Engranaje planetario (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un engranaje planetario formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio r (sólido “2”, el “sol”) y una corona exterior estacionaria (sólido “1”), de radio R. Entre el sol y la corona se encuentra un sistema de tres discos iguales (los “planetas”, siendo uno de ellos el sólido “3”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por el portaplanetas o carrier (sólido “4”). En un momento dado, el sol se encuentra girando con velocidad angular Ω respecto la corona y el centro del disco “3” se encuentra sobre el eje OX4

  1. Determine las velocidad angular ω41 y su proporción con la ω21 (relación de transformación)
  2. Alternativamente puede fijarse el carrier, con lo que, al hacer girar el sol, la corona empieza a girar. ¿En qué sentido lo hace? ¿Cuánto vale la proporción ω14 / ω24?

2 Caso de corona fija

El movimiento de los tres planetas es idéntico, por lo que podemos considerar solo uno de ellos. Nuestro objetivo es determinar la velocidad del centro de este disco, ya que de ella sacamos la velocidad angular del carrier.

Tenemos que el sol se mueve, respecto a la corona fija, con velocidad angular

\omega_{21}=\Omega\,

El punto A, de contacto con el planeta "3" tiene velocidad

\vec{v}^A_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\vec{k}\times(r\vec{\imath}_4)=\Omega r\vec{\jmath}_{4}

Puesto que el planeta rueda sin deslizar sobre el sol, ésta es también la velocidad de este punto del planeta

\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+\Omega r\vec{\jmath}_4=\Omega r\vec{\jmath}_4

Por otro lado, el punto B, donde el planeta hace contacto con la corona, tiene velocidad nula respecto a ésta, ya que también rueda sin deslizar.

\vec{v}^B_{31}=\vec{0}

El punto C, centro del planeta, es el punto medio entre A y B, por lo que su velocidad es

\vec{v}^C_{31}=\frac{\vec{v}^A_{31}+\vec{v}^B_{31}}{2}=\frac{\Omega r}{2}\vec{\jmath}_4

El punto C es una articulación entre el planeta y el carrier, por lo que

\vec{v}^C_{41}=\vec{v}^C_{31}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}_4

Por otro lado, el carrier realiza una rotación en torno al eje central

\vec{v}^C_{41}=\omega_{41}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}=\omega_{41}\frac{R+r}{2}\vec{\jmath}_4

Igualando y despejando

\omega_{41}=\frac{\Omega R}{R+r}

por lo que la relación de transformación es

T_1=\frac{\omega_{41}}{\omega_{21}}=\frac{\omega_{41}}{\Omega}=\frac{r}{R+r}

Este cambio sirve para reducir marcha, ya que la velocidad angular del carrier es menor que la del sol. Usado al revés, serviría para incrementar la velocidad angular.

Archivo:planetario-directa.gif

3 Caso de carrier fijo

En el segundo caso, el carrier está fijado y lo que gira es la corona. La relación de transformación es ahora

T_2=\frac{\omega_{14}}{\omega_{24}}

Podemos volver a hacer los cálculos partiendo desde cero pero realmente no nos hace falta, ya que podemos aprovechar los resultados del apartado anterior (solo estamos cambiando el sistema de referencia que consideramos fijo). Por un lado

\omega_{14}=-\omega_{41}=-\frac{\Omega r}{R+r}

y por otro

\omega_{24}=\omega_{21}+\omega_{14}=\Omega-\frac{\Omega r}{R+r}=\frac{\Omega R}{R+r}

lo que nos da la relación de transformación

\frac{\omega_{14}}{\omega_{24}} = -\frac{\Omega r/(R+r)}{{\Omega R}/(R+r)}=-\frac{r}{R}

Esta relación es negativa, lo que quiere decir que la corona gira en sentido opuesto al eje. En este caso, el engranaje planetario sirve para meter la marcha atrás.

Archivo:planetario-reversa.gif

Estas relaciones pueden escribirse en términos del número de dientes del engranaje, puesto que los números de estos son proporcionales a los radios. El sol tiene Ns dientes. Por tanto, la corona tiene

y la corona

N_c = \frac{R}{r}N_s

es decir

\frac{r}{R}=\frac{N_s}{N_c}

Por tanto, en el caso directo la relación queda

T_1 = \frac{N_s}{N_s+N_c}

y en el reverso

T_2 = -\frac{N_s}{N_c}

A base de combinar diferentes engranajes planetarios pueden conseguirse más relaciones de transformación, como en este cambio de marchas de bicicleta, que produce 14 relaciones diferentes:

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