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Energía electrostática de un sistema de conductores (F2 GIA)

De Laplace

Contenido


1 Descripción del sistema

Sea un sistema formado por N conductores ideales, \mathrm{C}_1,\ldots,\mathrm{C}_i\ldots,\mathrm{C}_N, con carga eléctrica distribuidas en sus superficies:

\big\{Q|_{\partial\mathrm{C}_i}=Q_i\big\}_{i=1,\ldots,N}

Dicha distribución de carga generá un campo eléctrico y, por consiguiente, un campo escalar de potencial electrostático V(\mathbf{r}). Como se sabe, si el sistema se encuentra en equilibrio electrostático, todos los puntos de cada conductor se hallan al mismo potencial y, por tanto, las superficies conductoras son equipotenciales; es decir, dicho campo escalar va a ser tal que en los puntos de cada superficie \partial\mathrm{C}_i tendrá el mismo valor Vi, medido respecto de cualquier otro conductor que se halle conectado “a tierra” (conductor C0) y que, por tanto, consideramos a potencial cero:

\forall, P^\prime \in \partial\mathrm{C}_i\mathrm{,}\;\, V(P^\prime)=V_i\quad \Longrightarrow \quad\big\{V|_{\partial\mathrm{C}_i}(\mathbf{r}^\prime)=V_i\big\}_{i=1,\ldots,N}

2 Cálculo de la energía electrostática almacenada en el sistema

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes \mathcal{F}, la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime

donde V(\mathbf{r}) es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que ha sido necesario realizar para, mediante una serie de procesos cuasi--estáticos, configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

La región \mathcal{F} no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. En el caso del sistema bajo estudio, formado por conductores cargados, dicha región de fuentes está constituida por las superficies de los N conductores. En consecuencia, integral extendida a la región \mathcal{F} es equivalente a la suma de las N integrales correspondientes a las distintas superficies conductoras:

\mathcal{F}=\partial\mathrm{C}_1\cup\ldots\cup\partial\mathrm{C}_N\quad\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^N\int_{\partial C_i}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime

Para calcular cada uno de los sumando de la anterior expresión tenemos en cuenta que la superficie de cada conductor es equipotencial por lo que, al evaluar el potencial V(\mathbf{r}^\prime) en todos los puntos de la superficie \partial\mathrm{C}_i, siempre se obtiene idéntico valor Vi. Por otra parte, la suma de todas las cargas infinitesimales \mathrm{d}q^\prime distribuidas de forma continua sobre dicha superficie, es igual a la cantidad total de carga total Qi almacenada en ella. Se tendrá, por tanto:

\left.\begin{array}{l} V(\mathbf{r}^\prime)\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=V_i\\ \\ \displaystyle Q\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=\int_{\partial \mathrm{C}_i}\!\! \mathrm{d}q^\prime=Q_i\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \int_{\partial C_i}\!\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime=V_i \int_{\partial \mathrm{C}_i}\!\! \mathrm{d}q^\prime=V_i\!\ Q_i

En consecuencia, la energía electrostática almacenada en un sistema de N conductores cargados es igual a la mitad de la suma de los productos de la carga distribuida en cada superficie conductora por el valor del potencial en la misma:

U_e=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^NQ_i\!\ V_i=\frac{1}{2}\!\ \bigg(Q_1V_1+\ldots+Q_jV_j+\ldots+Q_NV_N\bigg)

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