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Energía electrostática de un sistema de cargas puntuales

De Laplace

1 Enunciado

Halle la energía electrostática almacenada en los siguientes sistemas de cargas puntuales:

  1. q_1=q_2=q_3=q_4=+14\,\mathrm{nC}.
  2. q_1=q_2=q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  3. q_1=q_3=+14\,\mathrm{nC}, q_2=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  4. q_1=q_2=+14\,\mathrm{nC}, q_3=q_4=-14\,\mathrm{nC}.
  5. q_1=q_4=+14\,\mathrm{nC}, q_2=q_3=-14\,\mathrm{nC}.

situadas en cada caso en los vértices de un rectángulo


\vec{r}_1 = \vec{0}\qquad \vec{r}_2 = 7\vec{\imath}\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_3 = (7\vec{\imath}+24\,\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}\qquad \vec{r}_2 = 24\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}

2 Solución

La energía de un sistema de cargas puntuales se calcula mediante la fórmula

U = \frac{1}{2}\sum_i q_i V'(\vec{r}_i)

Siendo V'(\vec{r}_i) el potencial creado por el resto de las cargas en la posición de la carga i. A su vez, este potencial viene dado por la suma

V'(\vec{r}_i)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{k\neq i}\frac{q_k}{d_{ik}}

siendo dik la distancia entre qi y qk.

En este problema las posiciones son las mismas en todos los casos. Las distancias respectivas valen

d_{12}=d_{34}=7\,\mathrm{cm}\qquad d_{13}=d_{24}=\sqrt{7^2+24^2}\,\mathrm{cm}=25\,\mathrm{cm}\qquad d_{14}=d_{23}=24\,\mathrm{cm}

Llevando la expresión del potencial a la de la energía queda

\begin{array}{rcl}U & = & \displaystyle \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(q_1\left(\frac{q_2}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{13}}+\frac{q_4}{d_{14}}\right)+q_2\left(\frac{q_1}{d_{12}}+\frac{q_3}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{24}}\right)\right. +\\ && \\ & + & \displaystyle \left. q_3\left(\frac{q_1}{d_{13}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_4}{d_{34}}\right)+q_4\left(\frac{q_1}{d_{14}}+\frac{q_2}{d_{23}}+\frac{q_3}{d_{34}}\right)\right)\end{array}

Agrupando términos y teniendo en cuenta que las cargas se encuentran en un rectángulo, de forma que varias de las distancias son coincidentes queda

U  =  \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2+q_3q_4}{d_{12}}+\frac{q_1q_3+q_2q_4}{d_{13}}+\frac{q_1q_4+q_2q_3}{d_{14}}\right)

Sustituimos los valores numéricos, para lo cual medimos las distancias en centímetros y las cargas en nanoculombios, quedando la energía (aproximada tomando k_e = 9\times 10^9\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2) en microjulios

U  = \frac{9}{70}(q_1q_2+q_3q_4)+\frac{3}{80}(q_1q_4+q_2q_3)+\frac{9}{250}(q_1q_3+q_2q_4)

Sustituyendo ahora los diferentes valores queda la siguiente tabla:

energia-cuatro-cargas-02.png Archivo:energia-cuatro-cargas-03.png Archivo:energia-cuatro-cargas-04.png Archivo:energia-cuatro-cargas-05.png Archivo:energia-cuatro-cargas-06.png
I II III IV V


Caso q1 (nC) q2 (nC) q3 (nC) q4 (nC) U (μJ)
I +14 +14 +14 +14 +79.2
II −14 −14 −14 −14 +79.2
III +14 −14 +14 −14 −51.0
IV +14 +14 −14 −14 +21.6
V +14 −14 −14 +14 −49.8

La energía en el primer y el segundo caso son idénticas, ya que si cambiamos el signo de todas las cargas sus productos conservan el mismo signo, resultando la misma energía.

A partir de esta tabla podemos ver, por ejemplo, si partimos del tercer caso, qué trabajo costaría intercambiar la carga 2 con la carga 3. En ese caso el estado final sería el cuarto caso y el trabajo necesario la diferencia entre los dos valores de la energía.

También vemos que el que haya dos cargas positivas y dos negativas no implica en absoluto que la energía electrostática sea nula. Puede ser negativa pero también nula o positiva, dependiendo de las posiciones de las cargas.

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