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Energía electrostática de superficies esféricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la energía electrostática almacenada en las siguientes distribuciones de carga:

  1. Una superficie esférica de radio a sobre la cual hay distribuida uniformemente una carga Q.
  2. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas uniformemente cargas + Q y Q respectivamente.
  3. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas cargas con densidades + σ0 y − σ0 respectivamente.
  4. Tres superficies esféricas concéntricas de radios 2b, 3b y 6b, que almacenan, respectivamente, cargas Q1, Q2 y Q3. ¿A qué se reduce el resultado si Q1 = Q3 = Q0, Q2 = − Q0?

2 Introducción

La energía electrostática de una densidad de carga superficial es una generalización de la energía de un sistema de cargas puntuales

U = \frac{1}{2}\int \sigma_s V\,\mathrm{d}S

donde σs es la densidad superficial de carga y V es el potencial eléctrico en los puntos donde se encuentra esta. Este potencial eléctrico es debido a todas las fuentes de campo eléctrico que haya, no solo el debido a la propia densidad superficial.

3 Una superficie esférica

Una superficie esférica cargada uniformemente produce el potencial eléctrico

V(r)=\begin{cases} \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} & r \leq R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R \end{cases}

Para hallar la energía debemos calcular la integral

U = \frac{1}{2}\int \sigma_s V\,\mathrm{d}S

sobre los puntos de la superficie esférica. En estos puntos el potencial vale

V(r=R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}

Vemos que tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie esférica. Esto nos da la energía

U = \frac{1}{2}\int\sigma_s\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)\mathrm{d}S=\frac{1}{2}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)\int \sigma_s\mathrm{d}S=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}

donde hemos aplicado que la integral de la densidad de carga es la carga total

\int \sigma_s\mathrm{d}S=Q

A la vista del resultado podemos extraer una serie de conclusiones:

  • La energía electrostática es independiente del signo de la carga. Una esfera cargada negativamente tiene una energía positiva.
  • La energía electrostática es siempre positiva (o nula en el caso de una esfera descargada).
  • La energía es cuadrática con la carga. Esto quiere decir que si una esfera de 1cm almacena una carga de 1nC, la energía electrsática es de 0.9μJ, pero si queremos almacenar 1μC (1000 veces más carga) necesitamos multiplicar la energía no por 1000 veces sino por 1.000.000 veces.
  • La energía es inversamente proporcional al radio de la esfera y no es proporcional a su volumen. Esto quiere decir que si aumentamos el radio al doble la energía no se multiplica por 8, sino que por el contrario se reduce a la mitad.

4 Dos superficies con cargas opuestas

En el caso de las dos esferas concéntricas no es la suma de las energías de las dos esferas por separado. La energía electrostática no cumple el principio de superposición.

Para hallar la energía, calculamos el potencial total producido por las dos esferas simultáneamente. El debido a la esfera interior (que etiquetaremos como “1”) es

V_1=\begin{cases} \displaystyle \frac{+Q}{4\pi\varepsilon_0a} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{+Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a \end{cases}

y el debido a la exterior (“2”) es

V_2=\begin{cases} \displaystyle \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0b} & r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b \end{cases}

El potencial total es la suma de estos dos

V = V_1 + V_2 = \begin{cases} \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right) & a < r \leq b \\ & \\ 0 & r > b \end{cases}

El potencial eléctrico en la superficie de cada esfera es

V_a=V(r=a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = \frac{Q(b-a)}{4\pi\varepsilon_0 ab}\qquad\qquad V_b = V(r=b)=0

y la energía almacenada en el sistema vale

U = \frac{1}{2}\left(\int_{r=a}\sigma_sV_a\,\mathrm{d}S+\int_{r=b}\sigma_s\overbrace{V_b}^{0}\,\mathrm{d}S\right)= \frac{Q^2(b-a)}{8\pi\varepsilon_0 ab}

Vemos que como el caso de una sola esfera resulta una función cuadrática de la carga, por lo que la misma energía resulta si es la esfera interior la cargada negativamente y la exterior la positiva.

Vemos también que la energía no es igual a la suma de dos esferas por separado (que resultaría una expresión similar pero con un signo positivo en el numerador.

5 Dos superficies con densidades opuestas

En el último caso la situación es similar a la anterior, con la diferencia de que las cargas de las dos esferas ya no son iguales en magnitud,

Q_1 = +4\pi a^2\sigma_0 \qquad\qquad Q_2=-4\pi b^2\sigma_0

lo que da los potenciales respectivos

V_1=\begin{cases} \displaystyle \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0a} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a \end{cases}        V_2=\begin{cases} \displaystyle \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0b} & r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b \end{cases}

y el potencial total

V = V_1 + V_2 = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{b}\right) & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{r}+\frac{Q_2}{b}\right) & a < r \leq b \\ & \\  \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1+Q_2}{r}\right) & r > b \end{cases}

y el potencial en la superficie de cada esfera vale

V_a=V(r=a) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{b}\right)\qquad\qquad V_b = V(r=b)=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}

Siendo en este caso la energía total

U = \frac{1}{2}\left(\int_{r=a}\sigma_sV_a\,\mathrm{d}S+\int_{r=b}\sigma_sV_b\,\mathrm{d}S\right)= \frac{1}{2}Q_1V_a+\frac{1}{2}Q_2V_b

Sustituyendo los valores de los potenciales respectivos

U = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1^2}{a}+\frac{2Q_1Q_2+Q_2^2}{b}\right)

Podemos comprobar que esta energía es siempre positiva escribiéndola como

U = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)+\frac{(Q_1+Q_2)^2}{b}\right)

En función de las densidades de carga

U = \frac{4\pi\sigma_0^2}{\varepsilon_0}\left(a^3-2a^2b+b^3\right)

6 Tres superficies concéntricas

Este problema se relaciona directamente con uno del tema de electrostática con conductores. La idea, como en el caso de dos superficies esféricas, es aprovechar que, por la simetría de revolución del sistema, el potencial en todos los puntos de una esfera tendrá el mismo valor (aunque será diferente del de las otras dos esferas), de manera que la energía se puede calcular con la expresión

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3

siendo el potencial de cada esfera, por superposición

\begin{array}{rcl}
V_1 & = & \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q_1}{2b}+\dfrac{Q_2}{3b}+\dfrac{Q_3}{6b}\right)\\ && \\ V_2 & = & \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q_1+Q_2}{3b}+\dfrac{Q_3}{6b}\right)\\ && \\ V_3 & = & \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q_1+Q_2+Q_3}{6b}\right)\end{array}

Si sustituimos nos queda, sacando factores comunes

U_\mathrm{e}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0b}\left(\frac{Q_1^2}{2}+\frac{2Q_1Q_2}{3}+\frac{Q_1Q_3}{3}+\frac{Q_2^2}{3}+\frac{Q_2Q_3}{3}+\frac{Q_3^2}{6}\right)

Agrupando términos, esta expresión puede escribirse como

U_\mathrm{e}=\frac{1}{48\pi\varepsilon_0b}\left(Q_1^2+(Q_1+Q_2)^2+(Q_1+Q_2+Q_3)^2\right)

Este resultado muestra además que la energía almacenada en este sistema es siempre positiva.

En el caso particular Q1 = Q3 = Q0, Q2 = − Q0, el resultado anterior se reduce a

U_\mathrm{e}=\frac{1}{48\pi\varepsilon_0b}\left(Q_0^2+0^2+Q_0^2\right)=\frac{Q_0^2}{24\pi\varepsilon_0b}

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