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Energía electromagnética en una onda viajera

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una onda plana monocromática en una región libre de fuentes posee el campo eléctrico

\mathbf{E}=E_0\cos(\omega t - k z)\mathbf{u}_x
  1. Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética en todos los puntos del espacio.
  3. Halle el promedio temporal de las densidades de energía, definido como
\langle u \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T u\,\mathrm{d}t\qquad T = \frac{2\pi}{\omega}
  1. Calcule el vector de Poynting en cada instante
  2. Halle el promedio temporal del vector de Poynting

2 Campo magnético

Si hallamos las fuentes vectoriales del campo eléctrico obtenemos

\nabla\times\mathbf{E}=\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ && \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ && \\ E(z,t) & 0 & 0\end{matrix}\right| = \frac{\partial E}{\partial z}\mathbf{u}_y = k E_0\mathrm{sen}(\omega t - k z)\mathbf{u}_y

De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magnético, cambiada de signo.

-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = k E_0\mathrm{sen}(\omega t - k z)\mathbf{u}_y\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{B}=\frac{k}{\omega}\cos(\omega t - k z)\mathbf{u}_y

En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magnético dependen tanto de la frecuencia ω como del número de onda k. Sin embargo, no es así. Sustituyendo en la ley de Ampère-Maxwell obtenemos, por un lado

\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{k^2}{\omega}E_0\mathrm{sen}(\omega t - kz)\mathbf{u}_x

y por otro

\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\mu_0\varepsilon_0 \omega E_0\mathrm{sen}(\omega t - k z)\mathbf{u}_x

Para que estas dos cantidades sean iguales en todo instante, debe ser

\frac{k^2}{\omega} = \mu_0\varepsilon_0\omega \qquad\Rightarrow\qquad \omega = \frac{k}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = ck

Esta es la llamada relación de dispersión para el vacío. De aquí obtenemos

\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - k z)\mathbf{u}_y

El campo magnético, por tanto, oscila completamente en fase con el campo eléctrico.

Archivo:onda-plana-em.gif

3 Densidades de energía

3.1 Eléctrica

La densidad de energía eléctrica en cada punto del espacio viene dada por

u_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0E_0^2 \cos^2(\omega t - k z)

Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico.

3.2 Magnética

Una vez que conocemos el campo magnético, podemos hallar la densidad de energía magnética en cada punto del espacio

u_\mathrm{m} = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E_0^2}{2\mu_0c^2} \cos^2(\omega t - k z)

Sustituyendo la relación entre la permitividad, la permeabilidad y la velocidad de la luz en el vacío queda

u_\mathrm{m} =  \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \cos^2(\omega t - k z) =u_\mathrm{e}

La densidad de energía magnética es igual en cada punto a la eléctrica.

3.3 Electromagnética

La densidad de energía electromagnética es la suma de la eléctrica y la magnética. Puesto que estas son iguales, equivale al doble de cada una de ellas.

u_\mathrm{em}=u_\mathrm{e}+\mathrm{u}_m = \varepsilon_0E_0^2 \cos^2(\omega t - kz )

4 Promedio de la densidad de energía

Las tres densidades de energía son funciones oscilantes alrededor de un valor no nulo. Aplicando que

\cos^2(\varphi) = \frac{1+\cos(2\varphi)}{2}

vemos que el promedio de la densidad de energía es igual a la mitad de su valor máximo

\langle u_\mathrm{e}\rangle =\frac{\varepsilon_0E_0^2}{2T}\int_0^T\cos^2(\omega t - k z)\,\mathrm{d}t = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{4T}\int_0^T(1+\cos(2\omega t - 2k z))\,\mathrm{d}t = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{4}

Este promedio temporal resulta ser independiente de la posición, esto es, en promedio, la energía se distribuye uniformemente por todo el espacio.

Análogamente, tenemos para las densidades de energía magnética

\langle u_\mathrm{m}\rangle = \langle u_\mathrm{e}\rangle = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{4}

y electromagnética

\langle u_\mathrm{3m}\rangle = \langle u_\mathrm{e}\rangle + \langle u_\mathrm{m}\rangle = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}

5 Vector de Poynting

El vector de Poynting lo obtenemos multiplicando vectorialmente los campos eléctrico y magnético

\mathbf{N}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_0} = \frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(\omega t - k z)\mathbf{u}_z

En esta onda, la dirección del flujo de energía es la de avance de la onda.

6 Promedio del vector de Poynting

Operando de forma análoga a como lo hicimos con la densidad de energía obtenemos

\langle\mathbf{N}\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\mathbf{u}_z

Vemos que el vector de Poynting, como la densidad de energía, es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Podemos establecer la proporcionalidad entre los dos promedios

\langle \mathbf{N}\rangle = \langle u_\mathrm{em}\rangle\,c\mathbf{u}_z

El flujo de energía es igual a la densidad de energía multiplicada por una velocidad, denominada velocidad de grupo, que puede ser interpretada como la velocidad con la que avanza la energía, y que en este caso es igual, en módulo, a la velocidad de la luz, como cabía esperar.

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