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Energía electromagnética en una onda estacionaria

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una onda estacionaria monocromática en una región libre de fuentes posee el campo eléctrico

\mathbf{E}=E_0\cos(\omega t)\cos(k z)\mathbf{u}_x
  1. Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética en todos los puntos del espacio.
  3. Halle el promedio temporal de las densidades de energía, definido como
\langle u \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T u\,\mathrm{d}t\qquad T = \frac{2\pi}{\omega}
  1. Calcule el vector de Poynting en cada instante
  2. Halle el promedio temporal del vector de Poynting

2 Campo magnético

Si hallamos las fuentes vectoriales del campo eléctrico obtenemos

\nabla\times\mathbf{E}=\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ && \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ && \\ E(z,t) & 0 & 0\end{matrix}\right| = \frac{\partial E}{\partial z}\mathbf{u}_y = -k E_0\mathrm{cos}(\omega t)\mathrm{sen}(k z)\mathbf{u}_y

De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magnético, cambiada de signo.

-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -k E_0\mathrm{cos}(\omega t)\mathrm{sen}(k z)\mathbf{u}_y\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{B}=\frac{k}{\omega}E_0\mathrm{sen}(\omega t)\mathrm{sen}(k z)\mathbf{u}_y

En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magnético dependen tanto de la frecuencia ω como del número de onda k. Sin embargo, no es así. Sustituyendo en la ley de Ampère-Maxwell obtenemos, por un lado

\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{k^2}{\omega}E_0\mathrm{sen}(\omega t)\cos(kz)\mathbf{u}_x

y por otro

\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\mu_0\varepsilon_0 \omega E_0\mathrm{sen}(\omega t)\cos(kz)\mathbf{u}_x

Para que estas dos cantidades sean iguales en todo instante, debe ser

\frac{k^2}{\omega} = \mu_0\varepsilon_0\omega \qquad\Rightarrow\qquad \omega = \frac{k}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = ck

Esta es la llamada relación de dispersión para el vacío. De aquí obtenemos

\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\mathrm{sen}(\omega t)\mathrm{sen}(k z)\mathbf{u}_y

El campo magnético, por tanto, oscila completamente en fase con el campo eléctrico.

Archivo:onda-estacionaria-em.gif

3 Densidades de energía

3.1 Eléctrica

La densidad de energía eléctrica en cada punto del espacio viene dada por

u_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0E_0^2 \cos^2(\omega t)\cos^2( k z)

Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico. En particular en los nodos, la densidad de energía es nula en todo instante.

3.2 Magnética

Una vez que conocemos el campo magnético, podemos hallar la densidad de energía magnética en cada punto del espacio

u_\mathrm{m} = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E_0^2}{2\mu_0c^2}\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\mathrm{sen}^2(k z)

Sustituyendo la relación entre la permitividad, la permeabilidad y la velocidad de la luz en el vacío queda

u_\mathrm{m} =  \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\mathrm{sen}^2(k z)

3.3 Electromagnética

La densidad de energía electromagnética es la suma de la eléctrica y la magnética. Puesto que estas son iguales, equivale al doble de cada una de ellas.

u_\mathrm{em}=u_\mathrm{e}+\mathrm{u}_m = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\left(\cos^2(\omega t)\cos^2(kz)+\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\mathrm{sen}^2(k z)\right)

4 Promedio de la densidad de energía

Las tres densidades de energía son funciones oscilantes alrededor de un valor no nulo. Aplicando que

\cos^2(\varphi) = \frac{1+\cos(2\varphi)}{2}

vemos que el promedio de la densidad de energía es igual a la mitad de su valor máximo

\langle u_\mathrm{e}\rangle =\frac{\varepsilon_0E_0^2}{2T}\int_0^T\cos^2(\omega t)\cos^2(k z)\,\mathrm{d}t = \frac{\varepsilon_0E_0^2\cos^2(kz)}{4T}\int_0^T(1+\cos(2\omega t))\,\mathrm{d}t = \frac{\varepsilon_0 E_0^2\cos^2(kz)}{4}

Este promedio temporal es una función oscilante de la posición, siendo nula en los nodos de la onda y máxima en los vientres.

Análogamente, tenemos para las densidades de energía magnética, aplicando que

\mathrm{sen}^2(\varphi) = \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}

nos queda

\langle u_\mathrm{m}\rangle = \frac{\varepsilon_0E_0^2\,\mathrm{sen}^2(kz)}{4}

Sumando las dos

\langle u_\mathrm{em}\rangle = \langle u_\mathrm{e}\rangle + \langle u_\mathrm{m}\rangle = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{4}

La energía electromagnética sí está distribuida uniformemente, aunque en algunos puntos sea toda energía eléctrica y en otros toda energía magnética.

5 Vector de Poynting

El vector de Poynting lo obtenemos multiplicando vectorialmente los campos eléctrico y magnético

\mathbf{N}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_0} = \frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(k z)\,\mathrm{sen}(kz)\mathbf{u}_z

En esta onda, la dirección del flujo de energía es la de avance de la onda, pero su sentido es oscilante.

6 Promedio del vector de Poynting

Operando de forma análoga a como lo hicimos con la densidad de energía obtenemos

\langle\mathbf{N}\rangle = \mathbf{0}

Esto quiere decir que en una onda estacionaria, la energía electromagnética no avanza en promedio. Pasa de ser energía eléctrica a energía magnética y viceversa, en un movimiento de vaivén, pero no hay un flujo uniforme de energía.

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