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Energía de un sistema de partículas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Energía cinética

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

K = \sum_i K_i = \frac{1}{2}\sum_i m_i\left|\vec{v}_i\right|^2

1.1 Teorema de König. Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa a este punto

\vec{v}_i = \vec{v}_G+\vec{v}^{\,\prime}_i

queda, para la energía cinética individual,

K_i = \frac{1}{2}m_i(\vec{v}_G+\vec{v}^{\,\prime}_i)\cdot(\vec{v}_G+\vec{v}^{\,\prime}_i) = \frac{1}{2}m_i\left|\vec{v}_G\right|^2+m_i\vec{v}^{\,\prime}_i\cdot\vec{v}_G+\frac{1}{2}m_i\left|\vec{v}^{\,\prime}\right|_i^2

y para la energía cinética total tenemos, al sumar

\sum_i m_i = M\qquad\qquad \sum_i m_i \vec{v}^{\,\prime}_i = M \vec{v}^{\,\prime}_G=\vec{0}

lo que reduce la energía cinética a

K = \frac{1}{2}M\left|\vec{v}\right|_G^2 + K^\prime

con

K^\prime =\frac{1}{2}\sum_i m_i\left|\vec{v}^{\,\prime}_i\right|^2

la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición es el denominado Teorema de König para la energía cinética y se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, K^\prime es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a:

  • un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
  • un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
  • una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar el estudio de los sistemas suele limitarse a la suma del término M|\vec{v}_G|^2/2 con la suma de la energía cinética intrínseca debida a los movimientos macroscópicos (rotación, vibración, etc.).

Si el sistema está compuesto de varias partes, la energía cinética total será la suma de las distintas partes

K=\frac{1}{2}\sum_k M_k \left|\vec{v}_{Gk}\right|^2 +\sum_k K^\prime_k

Para el primer sumando podemos aplicar de nuevo el teorema de König, tratando cada parte como una partícula situada en su respectivo centro de masas. El segundo sumando representa las energías cinéticas internas de cada parte. Así, en el ejemplo del Sistema Solar, el primer sumatorio correspondería a considerar éste como un sistema de 9 partículas puntuales y el segundo sumatorio incluiría las energías cinéticas de rotación de los planetas y el Sol.

2 Evolución de la energía cinética

Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos cantidades, en sencillo probar que

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_1\cdot\vec{v}_1+\vec{F}_2\cdot\vec{v}_2+\cdots

esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por todas las fuerzas ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética total.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la energía cinética total.

2.1 Trabajo interno nulo

Podemos preguntarnos en qué condiciones las fuerzas internas no realizan trabajo y por tanto conservan la energía cinética.

Supongamos un par de partículas A y B, que interactúan entre sí. De entre los diferentes términos de la potencia, habrá dos asociados a esta interacción

P_{AB}=\vec{F}_{A\to B}\cdot\vec{v}_B+\vec{F}_{B\to A}\cdot\vec{v}_A

Por la tercera ley de Newton

P_{AB}=\vec{F}_{A\to B}\cdot(\vec{v}_B-\vec{v}_A)

La velocidad relativa es la derivada temporal de la posición relativa

\vec{v}_B-\vec{v}_A=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{AB}

Por otro lado, la fuerza de interacción entre A y B va en la dirección de la recta que los une, por lo que lo podemos escribir como

\vec{F}_{A\to B}=F_{A\to B} \vec{u}_{AB}=F_{A\to B} \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}

La cantidad escalar F puede ser positiva (si es de repulsión) o negativa (si es de atracción). Llevando esto a la potencia

P_{AB}=F_{A\to B}\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{AB}

Aquí

\overrightarrow{AB}\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{AB}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|^2\right)=\left|\overrightarrow{AB}\right|\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left|\overrightarrow{AB}\right|

y queda finalmente

P_{AB}=F_{A\to B}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left|\overrightarrow{AB}\right|

es decir: las fuerzas internas no realizan trabajo si las distancias entre partículas permanecen constantes (condición de rigidez).

En ese caso quedaría

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\sum_i\vec{F}_{i\mathrm{ext}}\cdot\vec{v}_i

Si la fuerza es repulsiva y las partículas se separan (o si es atractiva y se acercan) la potencia es positiva y por tanto la energía cinética aumenta.

Las fuerzas de rozamiento dinámico, en cambio, que se oponen a la velocidad relativa, implican una disminución de la energía cinética.

No obstante, hay situaciones en que la energía cinética no disminuye, sino que pasa a grados de libertad microscópicos. Por ejemplo, imaginemos un sistema de pequeñas esferitas. Si las partículas que forman el sistema se trasladan con una velocidad decreciente, pero el giro de cada una sobre sí mismas va aumentando, es posible que la energía cinética total esté aumentando, pero el efecto aparente es una disminución, ya que exteriormente vemos las traslaciones, pero no las rotaciones. En la expresión

K = \frac{1}{2}\sum_k M_k \left|\vec{v}_{Gk}\right|^2 + \sum_k K^\prime_k

disminuiría el primer sumatorio y aumentaría el segundo. Esto se interpreta como un aumento de la energía interna, que se manifiesta como que por rozamiento la temperatura del sistema aumenta.

3 Energía potencial gravitatoria

El concepto de energía potencial de un sistema de partículas es aun más difuso que el de energía cinética de un sistema, ya que incluye todo tipo de términos asociados a las diferentes interacciones (eléctricas, magnéticas, elásticas,…) entre partículas, que son en su mayor parte desconocidos. Por ello, para sistemas de muchas partículas, las diferentes contribuciones de energía potencial se suelen englobar dentro del concepto genérico de energía interna. La excepción más importante la constituye la energía potencial asociada al peso, que es una fuerza externa. Para una partícula, su energía potencial gravitatoria es

U_i=m_i gh_i\,

siendo hi la altura respecto a un nivel de referencia (el suelo). La energía potencial de todo el sistema es entonces

U=\sum_i m_i g h_i = g\left(\sum_i m_i h_i\right)=M g h_G

Esto es, en cuanto al peso, el sistema tiene la energía potencial que tendría una sola partícula situada a la altura del CM.

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