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Elevación de mercurio en un tubo en U

De Laplace

1 Enunciado

Se vierte mercurio en un un tubo en U. El brazo izquierdo del tubo tiene una sección transversal de área A1 = 10.0 cm2, y la del brazo derecho es A2 = 5.00 cm2. A continuación se vierten 100 g de agua en el brazo derecho del tubo.

  1. Determina la altura de la columna de agua en el brazo derecho del tubo relativa a la del mercurio en el izquierdo.
  2. Si la densidad del mercurio es ρHg = 13.6 g/cm3, ¿qué distancia ascenderá el mercurio en el brazo izquierdo?

2 Solución

Sabiendo que la densidad del agua es \rho_e = 1.00\,\mathrm{g/cm^3} , la altura de la columna de agua puede calcularse en función de su masa y la sección del tubo de la derecha

ma = ρaVa = ρaA2ha   \Rightarrow   h_a = \frac{m_a}{\rho_aA_2} = 20.0\,\mathrm{cm}

Numeramos los niveles de la figura, de modo que el nivel 1 corresponde a la altura del mercurio en el tubo de la derecha, el nivel 2 es la altura original del mercurio antes de añadir el agua, el 3 corresponde a la altura del mercurio en el tubo de la izquierda y el 4 es la superficie libre de la superficie de agua en el tubo de la derecha.

En ambas superficies libres, la del mercurio a la izquierda (nivel 3) y la de agua a la derecha (nivel 4) la presión ejercida sobre ellas es la atmosférica, P0. El principio de Pascal implica que los puntos de un mismo líquido a la misma altura respecto a la gravedad están a la misma presión. Podemos aplicar este principio al nivel 1. En el tubo de la izquierda la presión se debe a la presión atmosférica y la columna de mercurio desde la superficie libre hasta la altura 1. En el tubo de la derecha la presión es la suma de la presión atmosférica y la ejercida por la columna completa de agua. Así


\left.
\begin{array}{l}
P_1(\mathrm{izq}) = P_0 +  \rho_{Hg}g\,h_{13} \\ \\
P_1(\mathrm{der}) = P_0 + \rho_a g\,h_a
\end{array}
\right|
P_1(\mathrm{izq}) = P_1(\mathrm{der})   \Rightarrow   h_{13} = \frac{\rho_a}{\rho_{Hg}}h_a = 1.47\,\mathrm{cm}

Por otro lado, el aumento de nivel de mercurio en la izquierda, h = h23, se debe al trasvase de volumen de mercurio desde el tubo derecho. Como el líquido es incompresible el volumen se conserva, y entonces

A1h23 = A2h12   \Rightarrow   h_{12} = \frac{A_1}{A_2}h_{23}= \frac{A_1}{A_2}h

Ahora bien, si observamos la figura vemos que

h13 = h12 + h23 = h12 + h

Sustituyendo las expresiones anteriores tenemos


\frac{\rho_a}{\rho_{Hg}}h_a = \frac{A_1}{A_2}h + h   \Rightarrow   h = h_{23} = \frac{\displaystyle\frac{\rho_a}{\rho_{Hg}}}{\displaystyle 1+\frac{A_1}{A_2}}h_a = 0.490\,\mathrm{cm}

Ahora podemos calcular la diferencia de alturas entre las superficies libres de ambos tubos. Tenemos


h_a = h_{14} = h_{13} + h_{34} = \frac{\rho_a}{\rho_{Hg}}h_a + h_{34}   \Rightarrow   
h_{34} = \left(1-\frac{\rho_a}{\rho_{Hg}}\right)h_a = 18.5\,\mathrm{cm}

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