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Elección de ejes. Simetría

De Laplace

Contenido

1 Elección de ejes

Una parte importante de la elección de un sistema de coordenadas lo forma la dirección de los ejes. Es importante señalar que la dirección de los ejes es la que nosotros queramos que sea. Nadie se encuentra un eje Z\, por la calle. No hay nada en la naturaleza que diga que el eje Z\, debe ser vertical.

Si, por ejemplo, tenemos dos cargas puntuales situadas a una distancia a\,, y nada más, la elección obvia es tomar el eje Z\, como el que pasa por las dos cargas, independientemente de si en la figura aparece inclinado. ¿Por qué el Z\, y no el X\, o el Y\,? porque el eje Z\, desempeña un importante papel en cilíndricas y esféricas, cosa que no ocurre con los otros dos.
En cuanto al origen de coordenadas, que también es arbitrario, para este sistema de dos cargas, hay dos posibles elecciones sencillas: en una de las cargas, o en el punto medio entre ambas.

Por último, respecto al sistema de coordenadas más conveniente para este sistema, no es el de cartesianas, sino el de cilíndricas, ya que el sistema presenta lo que se denomina simetría de revolución.

2 Simetrías

Uno de los conceptos más fructíferos en física, pero también de los más delicados, es el de simetría. Este concepto es también esencial a la hora de elegir un sistema de coordenadas.

Todos estamos familiarizados con la simetría como algo asociado a los espejos. Este es un caso particular de simetría (la bilateral). Decimos usualmente que un sistema es simétrico si al reflejarlo en un espejo, el sistema sigue siendo el mismo.

El concepto de simetría que usaremos es una generalización de este: decimos que un sistema posee una determinada simetría cuando al efectuar una cierta transformación (geométrica, o cambiando las coordenadas), el sistema no cambia.

Los ejemplos más frecuentes que encontraremos son:

2.1 Simetría traslacional

Es la que aparece cuando el sistema no cambia al desplazarnos en línea recta.

Por ejemplo, un hilo cargado de longitud infinita se ve siempre igual si nos movemos paralelamente a él.

Un sistema de dos cargas puntuales no posee simetría traslacional, ya que no es lo mismo estar cerca de una carga que cerca de la otra, o lejos de ambas.

Matemáticamente se expresa tomando como eje Z\, el del desplazamiento y estableciendo que el sistema no depende de la coordenada z\,.

2.2 Simetría acimutal (o de revolución)

Aparece cuando el sistema no cambia al efectuar una rotación en torno a un eje fijo.

En el caso de dos cargas puntuales tenemos simetría acimutal, ya que al girar en torno a la recta que pasa por las dos cargas vemos siempre el mismo sistema.

Un sistema de tres cargas no alineadas no posee simetría acimutal.

Matemáticamente se expresa tomando el eje Z\, como el de revolución, y eligiendo coordenadas cilíndricas (o esféricas). La simetría acimutal equivale a decir que el sistema no depende de la coordenada \varphi.

2.3 Simetría esférica

Se produce cuando el sistema es invariante en torno a cualquier rotación en torno a un punto fijo.

Un ejemplo lo constituye una esfera cargada uniformemente.

Matemáticamente se expresa empleando coordenadas esféricas y afirmando que el sistema no depende ni de \theta\, ni de {\varphi}.

Un mismo sistema puede presentar varias simetrías. Por ejemplo:

  • Un hilo infinito posee tanto simetría traslacional como acimutal.
  • Dos hilos infinitos paralelos solo traslacional, pero no acimutal.
  • Un segmento finito posee simetría acimutal pero no traslacional.
  • Dos segmentos finitos paralelos, ninguna de las dos.

El concepto de simetría es delicado porque es fácil "encontrar" simetrías inexistentes y hacer simplificaciones incorrectas. También hay que ser cuidadoso, como veremos a lo largo del curso, porque la expresión matemática de la simetría presenta matices importantes.

Pero, con todas las precauciones necesarias, las simetrías son importantes porque simplifican enormemente la solución de los problemas.

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