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El vector de posición y otros ejemplos

De Laplace

1 Vector de posición

Como primer ejemplo de vector expresado en los tres sistemas veremos el propio vector de posición, que une el origen de coordenadas con el punto P\,. Lo hemos expresado en cartesianas. Lo escribimos de nuevo empleando la notación \mathbf{u}_{i}

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

Para escribirlo en cilíndricas, puede existir la tentación de ponerlo como \rho\mathbf{u}_{\rho}+{\varphi}\mathbf{u}_{{\varphi}}+z\mathbf{u}_{z} pero estaría mal, rotundamente mal. Para empezar porque este vector ni siquiera es dimensionalmente correcto, ya que suma una distancia (medida en metros) con un ángulo (medido en radianes). La forma correcta es

\mathbf{r} = \rho \mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z}
Podemos llegar a este resultado por una sencilla construcción geométrica. El vector de posición es la suma vectorial de un vector en el plano XY\,, que va desde el origen hasta la proyección de \mathbf{r}\, sobre dicho plano, \rho\mathbf{u}_{\rho} y otro que une este punto con el final, z\mathbf{u}_{z}\,. Comparando estos dos resultados tenemos la relación adicional
\rho\mathbf{u}_{\rho}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}

En esféricas, la expresión es aún más sencilla. Puesto que \mathbf{u}_{r} es el unitario en la dirección radial, el vector \mathbf{r}\, se obtiene simplemente multiplicando este unitario por el módulo de \mathbf{r}\,

\mathbf{r} = r\mathbf{u}_{r}

Antes dijimos que esta expresión es mucho más sencilla que empleando la base cartesianas, y es cierto, pero no hay que pensar que porque \theta\, y {\varphi} han desaparecido de la ecuación, este vector ya no depende de esas dos coordenadas. Sí, lo hace, sólo que la dependencia está escondida en \mathbf{u}_{r}\,, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

Reuniendo los tres resultados

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z} = \rho \mathbf{u}_{\rho}+z\mathbf{u}_{z} = r\mathbf{u}_{r}

2 Otro cambio de base

Supongamos un vector sin interpretación geométrica, por ejemplo

\mathbf{A} = \frac{z}{\rho}\mathbf{u}_{\rho}-\frac{\rho}{z}\mathbf{u}_{z}

¿Cómo se escribe este vector en cartesianas? Primero cambiamos de base, aplicando las relaciones entre las bases

\mathbf{A} = \frac{z\cos\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{x}+ \frac{z\,\mathrm{sen}\,\varphi}{\rho}\mathbf{u}_{y} - \frac{\rho}{z}\mathbf{u}_{z}

y a continuación sustituimos las coordenadas, empleando las relaciones correspondientes

\mathbf{A} = \frac{zx}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{x}+\frac{zy}{x^2+y^2}\mathbf{u}_{y} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\mathbf{u}_{z}

Si en lugar de a cartesianas queremos pasar a esféricas podemos cambiar primero las coordenadas

\mathbf{A} = \mathrm{cotg}\,\theta\,\mathbf{u}_{\rho}-\mathrm{tg}\,\theta\,\mathbf{u}_{z}

y, a continuación, cambiamos de base,

\mathbf{A} = (\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\mathbf{u}_{r} +\left(\frac{\cos^3\theta+\mathrm{sen}^3\theta}{\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}\right)\mathbf{u}_{\theta}

vemos que un vector que se expresa de forma sencilla en un sistema puede ser muy complejo en otro diferente. Normalmente aparecen raíces cuadradas de lo más molestas.

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