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Ejercicio de partícula libre en equilibrio, Noviembre 2012 (F1 GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula pesada P de masa m, se halla en equilibrio por la acción de dos resortes, uno de constante recuperadora K1 y longitud natural l1, y otro de constante recuperadora K2 y longitud natural l2, tales que K1l1 = K2l2. El primer resorte tiene un extremo conectado a P y el otro a un punto fijo O; el segundo resorte se conecta a la partícula y a un punto fijo A, separado de O por una distancia d. En la situación de equilibrio, los puntos O, P y A están alineados en la dirección y el sentido de \vec{g} (gravedad). ¿Cuáles deben ser los valores de la constante K y la longitud natural l0 de un único resorte que conectado al punto O, produzca la misma situación de equilibrio que los dos resortes?

2 Solución

Con el fin de describir analíticamente las magnitudes vectoriales que intervienen en el sistema (fuerzas aplicadas sobre la partícula), definimos un sistema de referencia cuyo eje OZ tenga la dirección de la gravedad y sentido contrario, de manera que \vec{g}=-g\!\ \vec{k}.

2.1 Sistema de dos resortes

2.1.1 Fuerzas aplicadas

Consideremos el cuerpo de masa m como una partícula material P, sometida a la acción de la gravedad y de dos resortes que tienen sus otros extremos conectados a sendos puntos fijos O y A, alineados en la dirección de la vertical gravitatoria. Dichos resortes están caracterizados por sus respectivos valores de constante recuperadora, K1 y K2, y por los de sus longitudes naturales l1 y l2. Estos resortes ejercen sobre la partícula sendas fuerzas colineales con los segmentos orientados \overrightarrow{PO} y \overrightarrow{PA}, siendo sus magnitudes proporcionales a la elongación de los resortes (es decir, la diferencia entre la longitud total del resorte y su longitud natural); el sentido de las fuerzas debe ser tal que el resorte tienda a recuperar su longitud natural:

\begin{array}{l}\displaystyle\vec{F}_1=K_1\bigg(|\overrightarrow{OP}|-l_1\bigg)\!\ \frac{\overrightarrow{PO}}{|\overrightarrow{OP}|}=K_1\left(1-\frac{l_1}{|\overrightarrow{OP}|}\right)\!\ \overrightarrow{PO}\\ \\ \\ 
\displaystyle\vec{F}_2=K_2\bigg(|\overrightarrow{AP}|-l_2\bigg)\!\ \frac{\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{AP}|}=K_1\left(1-\frac{l_2}{|\overrightarrow{AP}|}\right)\!\ \overrightarrow{PA}
\end{array}

Sobre la partícula actúa además su peso, que describe la acción de la gravedad:

\vec{P}=m\!\ \vec{g}=-mg\!\ \vec{k}

2.1.2 Condición de equilibrio

Para que el sistema permanezca en una posición de equilibrio, Peq, es condición necesaria que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula en todo instante. En el sistema bajo estudio esto implica que los segmentos orientados \overrightarrow{OP}_\mathrm{eq} y \overrightarrow{AP}_\mathrm{eq} deben estar necesariamente alineados con el vector \vec{g} (tal como se indica en el enunciado):

\vec{F}_1(P_\mathrm{eq})+\vec{F}_2(P_\mathrm{eq})+\vec{P}=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}\!\ \|\!\ \overrightarrow{AP}_\mathrm{eq}\!\ \|\!\ \vec{g}

o lo que es lo mismo, los puntos O, A y Peq deben estar alineados en la dirección de la vertical gravitatoria (es decir, en la dirección del vector \vec{k}). Se tendrá, por tanto:

\overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}=-l_\mathrm{eq}\!\ \vec{k}\mathrm{;}\qquad\overrightarrow{AP}_\mathrm{eq}=(d-l_\mathrm{eq})\!\ \vec{k}

Exigiendo que se verifique la ecuación vectorial que describe la condición de equilibrio, podemos determinar cuál sería la distancia leq característica de dicho estado:

\vec{F}_1(P_\mathrm{eq})+\vec{F}_2(P_\mathrm{eq})+\vec{P}=\left[K_1(l_\mathrm{eq}-l_1)-K_2(d-l_\mathrm{eq}-l_2)-mg\right]\!\ \vec{k}=\vec{0}       \Longleftrightarrow       l_\mathrm{eq}=\frac{mg+K_2d}{K_1+K_2}

donde hemos aplicado la propiedad expresada en el enunciado y que relaciona las constantes recuperadoras y las longitudes naturales de los dos resortes, K1l1 = K2l2.

2.2 Sistema equivalente de un resorte

Comparamos ahora con la longitud de equilibrio que se obtendría si hubiésemos utilizado un único resorte de constante recuperadora K y longitud natural l0, con su extremo fijo conectado al punto O. La fuerza realizada por dicho resorte sería,
\vec{F}=K\bigg(|\overrightarrow{OP}|-l_0\bigg)\!\ \overrightarrow{PO}

Nuevamente, en la situación de equilibrio los puntos O y Peq han de estar alineados en la dirección de la vertical gravitatoria, y si leq es la longitud total del resorte, deberá cumplirse:


\vec{F}(P_\mathrm{eq})+\vec{P}=\big[K(l_\mathrm{eq}-l_0)-mg\big]\!\ \vec{k}=\vec{0}       \Longleftrightarrow       l_\mathrm{eq}=\frac{mg}{K}+l_0

Este sistema de un sólo resorte será equivalente al de dos resortes si las longitudes de equilibrio leq en ambos sistemas son las mismas, cualquiera que sea el valor de la masa m. Esto ocurrirá siempre que los parámetros de ambos sistemas (valores de la constantes recuperadoras, longitudes naturales, etc.) veriquen las siguientes relaciones:

\frac{mg}{K_1+K_2}+\frac{K_2d}{K_1+K_2}=l_\mathrm{eq}=\frac{mg}{K}+l_0\!\ \mathrm{,}\;\;\forall\, m       \Longleftrightarrow       \begin{array}{l}\displaystyle K=K_1+K_2\\ \\ \displaystyle l_0=\frac{K_2d}{K_1+K_2}\end{array}

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