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Ejercicio de dinámica de la partícula, Julio 2013 (F1 GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña bolita P , de masa ,m está insertada en un aro de centro O y radio ,R fijado en el plano vertical OXY .La partícula está sometida a la acción de la gravedad, que actúa en la dirección del eje OX \vec{g}=g\,\vec{\imath} , y a la de un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene su otro extremo fijado en el punto del aro cuyas coordenadas son A( − R,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro no es despreciable, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento cuyo valor μ es prácticamente el mismo, tanto en el caso de equilibrio estático de la partícula, como cuando ́ésta se desplaza insertada en el aro.

Utilizando el ángulo θ para describir la posición de la partícula P..

  1. Obtenga la fuerza resultante (incluida la reacción vincular) que actúa sobre la partícula, expresada en el triedro intrínseco.
  2. Si los valores de los parámetros son tales que mg = kR, obtenga las expresiones matemáticas que definen las condiciones de equilibrio estático de la partícula y determine el rango de posiciones de equilibrio.
  3. Obtenga las ecuaciones que han de verificar en cada instante la velocidad y aceleración angulares, \dot{\theta}(t) y \ddot{\theta}(t) . Considérese de nuevo el caso mg = kR y, además, que la partícula se encuentra inicialmente en la posición θ(t) = 0, con una velocidad angular inicial


\dot{\theta}(t=0) = \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{R}}

Para dicho instante inicial, determine los valores de la fuerza de reacción vincular, de la fuerza de rozamiento y de la aceleración angular.

2 Solución

2.1 Fuerza resultante

Primero dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, la fuerza ejercida por el muelle, la fuerza de reacción vincular y la fuerza de rozamiento.

En la figura se representa el triedro intrínseco en la posición de la partícula. El vector tangente \vec{T} es tangente a la curva en cada punto, mientras que el vector normal \vec{N} apunta siempre hacia el centro de la circunferencia. Al tratarse de una circunferencia, y con la elección de los ejes OXY, los vectores del triedro intrínseco se relacionan con los vectores de la base polar como


\vec{N} = -\vec{u}_{r}, \qquad\qquad \vec{T}=\vec{u}_{\theta}

Proyectamos las fuerzas que actúan sobre la partícula en el triedro intrínseco. De la figura vemos que el peso puede expresarse como


\vec{P} = mg\,\vec{\imath}

Tenemos que proyectar el vector \vec{\imath} sobre el triedro intrínseco. De la figura vemos que


\vec{\imath} = -\cos(\theta)\,\vec{N} - \mathrm{sen}\,(\theta)\,\vec{T}

Por tanto, el peso es


\vec{P} = -mg\cos(\theta)\,\vec{N} - mg\,\mathrm{sen}\,(\theta)\,\vec{T}

La fuerza del muelle puede calcularse de varias formas. Si la longitud natural es nula, la fuerza que ejerce sobre la partícula puede expresarse como


\vec{F}_m = -k\,\overrightarrow{AP}

El vector puede calcularse como


\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}

Del dibujo tenemos


\begin{array}{l}
  \overrightarrow{OP} = -R\,\vec{N} \\ \\
  \overrightarrow{AP} = -R\,\vec{\imath} = R\cos(\theta)\,\vec{N} - R\,\mathrm{sen}\,(\theta)\,\vec{T}
\end{array}

La fuerza del muelle queda


\vec{F}_m = kR(1+\cos(\theta))\,\vec{N} + kR\,\mathrm{sen}\,(\theta)\,\vec{T}

Podemos verificar que el resultado no es absurdo aplicando esta expresión en puntos concretos. Por ejemplo, si la partícula está en el punto más bajo tenemos θ = 0. En ese caso la fuerza sería \vec{F}_m(\theta=0) = 2kR\,\vec{N} . Si está en el punto A ,tenemos θ = π, y la fuerza es \vec{F}_m(\theta=\pi)=\vec{0} . Por último, cuando θ = π / 2 tenemos \vec{F}_m = kR\,\vec{N} + kR\,\vec{T} . Todos estos resultados son coherentes con la geometría del muelle.

La fuerza de reacción vincular es perpendicular a la circunferencia. Por tanto


\vec{\Phi} = -\Phi\,\vec{N}

La componente Φ puede ser positiva, negativa o nula. Hemos escogido el sentido de la figura simplemente para fijar ideas, pero el sentido de la fuerza lo dan las ecuaciones correspondientes.

La fuerza de rozamiento es tangente al vínculo, esto es, a la circunferencia. Entonces


\vec{F}_r = -f_r\,\vec{T}

De nuevo el signo de fr vendrá determinado por las ecuaciones. Pero hay algo importante que recordar: el módulo de la fuerza de rozamiento no es, en general, igual al coeficiente de rozamiento por la fuerza normal. Eso sólo ocurre en régimen dinámico y en situación de deslizamiento inminente en régimen estático. Aquí es una incógnita cuyo valor tendremos que encontrar a partir de las ecuaciones.

Ahora podemos escribir la fuerza resultante sobre la partícula expresada en el triedro intrínseco:


\begin{array}{ll}
\vec{F}_T = \vec{P} + \vec{F}_m + \vec{\Phi} + \vec{F}_r = & (-mg\cos(\theta) + kR(1+\cos(\theta)) - \Phi)\,\vec{N} \\
& + (-mg\,\mathrm{sen}\,(\theta) + kR\,\mathrm{sen}\,(\theta) - f_r)\,\vec{T}
\end{array}

2.2 Equilibrio estático

La condición de equilibrio estático de la partícula es que la suma de fuerzas sobre ella sea cero. En este caso, esto nos da 2 ecuaciones. Tenemos


\vec{F}_T =\vec{0} \Longrightarrow
\left|
\begin{array}{l}
  -mg\cos(\theta) + kR(1+\cos(\theta)) - \Phi = 0\\
  -mg\,\mathrm{sen}\,(\theta) + kR\,\mathrm{sen}\,(\theta) - f_r = 0
\end{array}
\right.

Imponiendo la condición mg = kR estas dos ecuaciones se reducen a


\begin{array}{l}
  \Phi = kR \\
  f_r=0
\end{array}

No aparece el ángulo por ninguna parte. Esto quiere decir que, cuando mg = kR, cualquier posición de la partícula en la circunferencia es de equilibrio, con la fuerza de reacción vincular y la fuerza de rozamiento dadas por la expresión anterior.

Recalcamos de nuevo que el módulo de la fuerza de rozamiento no es siempre igual al coeficiente de rozamiento por el módulo de la fuerza normal.

2.3 Situación dinámica

Utilizando coordenadas polares, e imponiendo que la coordenada radial es constante e igual a R, la aceleración de la partícula se escribe


\vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Expresada en el triedro intrínseco la aceleración es


\vec{a} = R\dot{\theta}^2\,\vec{N} + R\ddot{\theta}\,\vec{T}

Aplicamos la segunda ley de Newton para obtener las ecuaciones de movimiento


m\vec{a}=\vec{F}_T \Longrightarrow
\left|
\begin{array}{l}
mR\dot{\theta}^2 = mg\cos(\theta) + kR(1+\cos(\theta)) - \Phi\\
mR\ddot{\theta} = -mg\,\mathrm{sen}\,(\theta) + kR\,\mathrm{sen}\,(\theta) - f_r
\end{array}
\right.

En régimen dinámica, el módulo de la fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento dinámico por el módulo de la fuerza normal. EL sentido es siempre contrario a la velocidad. EL movimiento que se indica en el enunciado empieza en el punto más bajo y la partícula se desplaza hacia arriba con ángulo θ creciente. Entonces fr = μΦ. Considerando de nuevo mg = kR las ecuaciones de movimiento quedan


\begin{array}{l}
  mR\dot{\theta}^2 = KR - \Phi \\
  mR\ddot{\theta} = -\mu\Phi
\end{array}

En el instante inicial tenemos \dot{\theta}(0) = \sqrt{g/R} . De la primera ecuación tenemos


\Phi(t=0) = kR - mR\dot{\theta}(t=0)^2 = kR - mR\dfrac{g}{R} = kR - mg = 0

Por tanto, tenemos

fr(t = 0) = μΦ(t = 0) = 0

Y de la segunda ecuación obtenemos


\ddot{\theta}(t=0) = -f_r(t=0) = 0

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