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Ejercicio de Dinámica del Punto, F1 GIA (Enero, 2012)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un tubo estrecho AB de longitud 2l y de masa despreciable, contenido en todo instante en el plano horizontal fijo OXY, gira con velocidad angular constante alrededor de su centro O, de manera que el ángulo que forma el tubo con la dirección OX verifica la ley horaria \theta(t)=\omega\!\ t. En el interior del tubo hay una partícula P de masa m, que puede moverse sin rozamiento apreciable. Sendos resortes ideales, ambos de longitud natural nula y constante recuperadora de valor k, conectan la partícula con los extremos A y B del tubo.
  1. Escriba las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función de la variable r y sus derivadas, utilizando la base de las coordenadas polares \{\vec{u}_r\mathrm{,}\vec{u}_\theta\}. Exprese también las distintas fuerzas que actúan sobre la partícula.
  2. Aplique las leyes de la Dinámica para formular las ecuaciones de movimiento del sistema. A la vista de la ecuación diferencial que describe el comportamiento de r(t), indique el tipo de movimiento que realiza la partícula a lo largo del tubo para los siguientes casos: (a) \displaystyle\omega=\omega_0; \quad (b) \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0, y (c) \omega=\sqrt{3}\!\ \omega_0, siendo \omega_0=\sqrt{k/m}.
  3. Considérese la situación particular en que el valor de la velocidad angular es \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0 -caso (b)-, y en el instante inicial (t = 0) la partícula se halla en el punto O con una velocidad cuyo módulo vale v0. Obtenga la ley horaria para la variable r(t), así como la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partícula.
  4. Obtenga la expresión horaria E(t) para la energía mecánica de la partícula ¿Se conserva E(t)? ¿Por qué?

2 Solución

2.1 Expresiones en polares de magnitudes cinemáticas y fuerzas

Para expresar la posición de una partícula en un plano OXY pueden emplearse la coordenadas polares, P(r,θ), cuya relación con las coordenadas cartesianas se resume en la siguiente expresión:

\overrightarrow{OP}=\vec{r}=r\cos\theta\!\ \vec{\imath}+r\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta\!\  \vec{\jmath}

siendo, por tanto, r la distancia que separa al punto P del origen O, y θ el ángulo que forma el radio-vector posición \vec{r} con la dirección OX. Además, se puede definir una base local asociada a estas coordenadas, constituida por dos vectores unitarios que, en cada punto del plano, indican las direcciones ortogonales en las que crecen los valores de las coordenadas polares:

\begin{array}{l}\vec{u}_r=\cos\theta\!\ \vec{\imath}+\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta\!\ \vec{\jmath}\\ \\
\vec{u}_\theta=-\mathrm{sen}\!\ \theta\!\ \vec{\imath}+\!\  \cos\theta\!\ \vec{\jmath}\end{array}

Si la partícula se mueve contenida en el plano OXY, cambiando el valor de sus coodenadas polares, P[r(t)\,\mathrm{;}\,\theta(t)], el radio-vector posición \vec{r}(t) y las magnitudes cinemáticas instanténeas velocidad, \vec{v}(t), y aceleración, \vec{a}(t), se expresan en dichas coordenadas de la siguiente forma:

\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}=\vec{r}(t)=r(t)\!\ \vec{u}_r(t)\\ \\
\vec{v}(t)=\dot{r}(t)\!\ \vec{u}_r(t)+r(t)\dot{\theta}(t)\!\ \vec{u}_\theta(t)\\ \\
\vec{a}(t)=\big[\ddot{r}(t)-r(t)\dot{\theta}{}^2(t)\big]\!\ \vec{u}_r(t)+\big[2\dot{r}(t)\dot{\theta}(t)+r(t)\ddot{\theta}(t)\big]\!\ \vec{u}_\theta(t)\end{array}

 

En el sistema bajo estudio, la partícula P se encuentra en todo instante en el interior del tubo recto \overline{AB}, cuyo centro coincide en todo instante con el punto fijo O. En consecuencia, la dirección del radio-vector \overrightarrow{OP}=\vec{r}(t) (y por tanto, la de \vec{u}_r(t) ha de coincidir en todo instante con la del tubo. Y como éste gira con velocidad angular constante ω, la ley horaria para la coordenada polar angular queda fijada por dicho movimiento:

\theta(t)=\omega\!\ t\,\mathrm{;}\,\quad\dot{\theta}(t)=\omega\,\mathrm{;}\,\quad\ddot{\theta}(t)=0

En consecuencia, la partícula va a tener un único grado de libertad en sentido estricto: su movimiento en el interior del tubo, descrito por la ley horaria r(t). Así las expresiones de las magnitudes cinemáticas en términos de esta variable y sus derivadas son:

\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}=\vec{r}(t)=r(t)\!\ \vec{u}_r(t)\\ \\
\vec{v}(t)=\dot{r}(t)\!\ \vec{u}_r(t)+\omega r(t)\!\ \vec{u}_\theta(t)\\ \\
\vec{a}(t)=\big[\ddot{r}(t)-\omega^2 r(t)\big]\!\ \vec{u}_r(t)+2\omega\dot{r}(t)\!\ \vec{u}_\theta(t)\end{array}    \,\mathrm{con}\,\;\;\left\{\begin{array}{l}\vec{u}_r(t)=\cos\omega t\!\ \vec{\imath}+\!\ \mathrm{sen}\!\ \omega t\!\ \vec{\jmath}\\ \\
\vec{u}_\theta(t)=-\mathrm{sen}\!\ \omega t\!\ \vec{\imath}+\!\  \cos\omega t\!\ \vec{\jmath}\end{array} \right.

 

Con objeto de simplificar el estudio dinámico de la patícula, procederemos a expresar también la fuerzas que actúan sobre aquélla en términos de las coordenadas polares y su base local. Como no se menciona la acción de la gravedad, obviaremos la existencia de la fuerza peso, de manera que \vec{F}_{rA} y \vec{F}_{rB} son las únicas fuerzas “activas”. Éstas describen la acción de sendos resortes ideales de longitud natural nula que conectan la partícula P a los extremos A y B. Serán, por tanto, fuerzas de igual dirección y sentido que los respectivos segmentos orientados \overrightarrow{PA} y \overrightarrow{PB}, y módulos proporcionales a los de estos vectores. Y como éstos son colineales en cada instante con el vector unitario \vec{u}_r(t), se tendrá:

\begin{array}{l}\vec{F}_{rA}=k\!\ \overrightarrow{PA}=-k\big[l+r(t)\big]\!\ \vec{u}_r\\ \\ \vec{F}_{rB}=k\!\ \overrightarrow{PB}=k\big[l-r(t)\big]\!\ \vec{u}_r\end{array}

donde l es la semilongitud del tubo. Además, como se discutió anteriormente, la partícula tiene un único grado de libertad, ya que su movimiento de rotación alrededor del eje OZ está absolutamente determinado por el movimiento forzado del tubo, impidiendo además cualquier desplazamiento de la partícula en la dirección perpendicular al plano OXY. Aplicando el principio de liberación, estas restricciones al movimiento libre de la partícula obedecen a la existencia de una fuerza de reacción vincular \vec{\Phi} actuando sobre ella. Y como se indica que el rozamiento de la partícula con el tubo es despreciable (vínculo liso), el único efecto de dicha fuerza debe ser impedir los movimientos de la partícula no compatibles con el vínculo. Si \delta \vec{r} describe el desplazamiento posible de la partícula respecto del tubo, en general se tendrá:

\vec{\Phi}\!\ \perp\!\ \delta\vec{r}=\mathrm{d}r\!\ \vec{u}_r(t)\;\;\Longrightarrow    \vec{\Phi}=\Phi_\theta\!\ \vec{u}_\theta\!\ + \Phi_z\!\ \vec{k}

2.2 Ecuciones de movimiento de la partícula

Las ecuaciones de movimiento so obtienen exigiendo que se verifiquen en el sistema los principios de la Dinámica para la partícula. Es decir, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser igual en cada instante, al producto de su masa m por su aceleración \vec{a}(t):

\sum_i\vec{F}_i+\sum_j\vec{\Phi}_j=m\!\ \vec{a}(t)

La expresión de la aceleración de la partícula en cualquier instante la obtuvimos en el apartado apartado 2.1. Nos queda por determinar el valor instantáneo de la resultante de las fuerzas. Comenzaremos analizando la acción conjunta de los resortes sobre la partícula:

\vec{F}_{rA}+\vec{F}_{rB}=-k\!\ \big[l+r(t)-l+r(t)\big]\!\ \vec{u}_r(t)=-2k\!\ r(t)\!\ \vec{u}_r(t)=2k\!\ \overrightarrow{PO}

Es decir, la suma de ambas fuerzas es igual a la fuerza que ejercería sobre la partícula un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora de valor 2k. Si añadimos ahora la fuerza de reacción vincular, se tendrá:

\sum_i\vec{F}_i+\sum_j\vec{\Phi}_j=\vec{F}_{rA}+\vec{F}_{rB}+\vec{\Phi}=-2k\!\ r(t)\!\ \vec{u}_r(t)\!\ + \Phi_\theta\!\ \vec{u}_\theta(t)+\Phi_z\!\ \vec{k}

Igualando ahora las componentes de esta resultante con las de la variación de la cantidad de movimiento de la partícula, obtenemos la ecuación diferencial que ha de verificar la variable r(t) y que describe el movimiento de la partícula dentro del tubo, así como las que permiten determinar las componentes de la fuerza de reacción vincular en cada instante:

\begin{array}{rcl}
-2k\!\ r(t)&=&m\!\ \big[\ddot{r}(t)-\omega^2\!\ r(t)\big]
\\ \\
\Phi_\theta&=&2m\omega\!\ \dot{r}(t)\\ \\
\Phi_z&=&0\,\mathrm{,}\;\;\forall\, t\end{array}

La ecuación diferencial de movimiento puede reescribirse como...


\ddot{r}(t)=\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\!\ r(t)

donde \omega_0=\sqrt{k/m} es un parámetro constante determinado por ciertas caractetísticas de nuestro sistema: la constante recuperadora de los resortes y la masa de la partícula. Como ω es también un parámetro constante (la velocidad angular que describe la rotación uniforme del tubo), tendremos que la derivada segunda con respecto al tiempo de la variable r(t) es proporcional a cada instante a dicha variable, siendo

\lambda=\omega^2-2\omega_0^2

la constante de proporcionalidad,


El tipo de movimiento estará determinado por el valor de dicha constante:

2.2.1 Caso a)

La barra gira con una velocidad angular \displaystyle \omega=\omega_0. Entonces, la constante de procionalidad es un número negativo y, en consecuencia, la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la variable r(t) es la característica de un movimiento oscilatorio armónico simple (M.O.A.S.):

\lambda=\omega_0^2-2\omega_0^2=-\omega_0^2<0\quad   \Rightarrow   \quad\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=-\omega_0^2\!\ r(t)\quad   \Rightarrow   \quadr(t)=a\cos\omega_0t\!\ + b\,\mathrm{sen}\!\ \omega_0t

Es decir, la partícula se movería dentro del tubo oscilando en torno al punto O.

2.2.2 Caso b)

La barra gira con una velocidad angular \displaystyle \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0. En este caso, la constante de proporcionalidad es nula, o lo que es lo mismo, la derivada segunda con respecto al tiempo de r(t) va a ser nula en todo instante. En consecuencia, el movimiento relativo de la partícula respecto del tubo es un movimiento rectilíneo uniforme:

\lambda=2\omega_0^2-2\omega_0^2=0\quad   \Rightarrow   \quad\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=0\ \mathrm{,}\;\;\forall\, t\quad   \Rightarrow   \quadr(t)=a\!\ t+ b

2.2.3 Caso c)

La barra gira con una velocidad angular \displaystyle \omega=\sqrt{3}\!\ \omega_0. En estas condiciones, la constante de proporcionalidad es positiva. No se trata, pues de un M.O.A.S., sino que la partícula se aleja del centro del tubo siguiendo una ley horaria exponencial:

\lambda=3\omega_0^2-2\omega_0^2=\omega_0^2>0\quad   \Rightarrow   \quad\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=\omega_0^2\!\ r(t)\quad   \Rightarrow   \quadr(t)=a\cosh\omega_0t\!\ + b\,\mathrm{senh}\!\ \omega_0t\longrightarrow c\!\ e^{\omega_0t}

2.3 Ley horaria en un caso particular

Como acabamos de ver, si la velocidad angular de rotación del tubo tiene un determinado valor crítico, la partícula verifica un movimiento rectilíneo uniforme dentro del tubo:

\omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0=\sqrt{\frac{2k}{m}}\quad
\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=0\quad
\Longrightarrow\quad r(t)=a\!\ t+ b

Para determinar los valores de las constantes de integración a y b, aplicamos las condiciones iniciales que se indican en el ejercicio:

\begin{array}{rcl}\vec{r}(t=0)=r(0)\vec{u}_r(0)=\vec{0}&\Rightarrow & r(0)=0\\ \\
|\vec{v}(t=0)|=\sqrt{\dot{r}^2(0)+\omega^2 r^2(0)}=v_0&\Rightarrow & \dot{r}(0)=v_0\end{array}

Integrando la ecuación diferencial obtenemos la ley horaria para la variable r(t):

\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\dot{r}(t)=v_0\,\mathrm{,}\;\;\,\mathrm{cte.}\,\;\;\forall\, t\quad   \Rightarrow       \displaystyle r(t)=v_0t

 

Por otra parte, el valor de la fuerza de reacción vincular en este caso será:


\vec{\Phi}=2m\omega\!\ \dot{r}(t)\!\ \vec{u}_\theta(t)\quad   \Rightarrow   \quad\vec{\Phi}=2\sqrt{2}\!\ m\omega_0 v_0\!\ \vec{u}_\theta(t)=2v_0\sqrt{2km}\!\ \vec{u}_\theta(t)

2.4 Energía mecánica de la partícula

La energía mecánica de la partícula se define como la suma de su energía cinética más las energías potenciales de las fuerzas conservativas que actúen sobre ella. En este caso, las dichas fuerzas son las realizadas por los dos resorte ideales de longitud natural nula y constante recuperadora k. Como se sabe, la energía potencial de este dispositivo es igual a la mitad del valor de la constante multiplicada por el cuadrado de la elongación. Por tanto, se tendrá:

\begin{array}{rcl}\displaystyle\vec{F}_{rA}=-k\big[l+r(t)\big]\!\ \vec{u}_r(t)&\longrightarrow &\displaystyle U_{rA}=\frac{1}{2}\ k \big[l+r(t)\big]^2\\ \\ 
\displaystyle\vec{F}_{rB}=k\big[l-r(t)\big]\!\ \vec{u}_r(t)&\longrightarrow & \displaystyle U_{rA}=\frac{1}{2}\ k \big[l-r(t)\big]^2
\end{array}

Por su parte, la energía cinética de la partícula moviéndose dentro del tubo que gira con velocidad angular constante ω es, en cada instante:

K=\frac{1}{2}\ m |\vec{v}(t)|^2=\frac{1}{2}\ m \big[\dot{r}^2(t)+\omega^2r^2(t)\big]

En las condiciones del apartado anterior, en que \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0 y la ley horaria es \displaystyle r(t)=v_0t, podemos obtener la siguiente expresión de la energía mecánica como una función del tiempo:

E(t)=K(t)+U_{rA}(t)+U_{rB}(t)=\frac{1}{2}\ mv_0^2+kl^2+2m\omega_0^2r^2(t)\quad   \Rightarrow   \quadE(t)=E_0+2m\omega_0^2v_0^2\!\ t^2

A la vista de esta expresión es evidente que la energía mecánica de la partícula no permancece constante, sino que crece con el tiempo. Esto es la partícula está sometida a un vínculo cinemético: un par motor hace girar al tubo con velolcidad angular constante, haciendo que la energia de la partícula aumente en el tiempo. Puede comprobarse que la variación instantánea de la energía mecánica coincide en cada instante con la potencia desarrollada por la fuerza de reacción vincular que, obviamente, realiza trabajo:

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=4m\omega_0^2 v_0^2\!\ t=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}(t)

pues, en la situación contemplada, la velocidad instantánea de la partícula es

\vec{v}(t)=v_0\!\ \vec{u}_r(t)+\sqrt{2}\!\ \omega_0 v_0\!\ t\!\ \vec{u}_\theta (t)

y la fuerza de reacción vincular, la expresión obtenida en el apartado 2.3.

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