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Ejemplos de densidades de carga

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la carga eléctrica total en cada uno de estos sistemas

  1. Un hilo de longitud L con densidad lineal de carga uniforme λ0.
  2. Un hilo de longitud L con densidad lineal de carga λ(x) = Ax (x = 0 corresponde al punto medio).
  3. Un hilo circular de radio R con densidad lineal de carga uniforme λ0.
  4. Un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme σ0.
  5. Una esfera de radio R con densidad volumétrica de carga uniforme ρ0.

2 Solución

2.1 Hilo recto con densidad de carga uniforme

El hilo se supone sin grosor. Por tanto, basta una coordenada para describir las posiciones a lo largo de él. Como se indica en el dibujo, si escogemos el eje X a lo largo del hilo, y el origen x = 0 en el centro del hilo, los puntos del hilo vienen descritos por los valores de la coordenada x


x\in\left[-\frac{L}{2},+\frac{L}{2}\right]

Si escogemos un elemento de línea de coordenada x y longitud dc, su carga es

dq = λ(x)dx = λ0dx

En este caso la densidad lineal de carga es uniforme, λ(x) = λ0.

Para obtener la carga total del hilo hay que sumar la carga de todos los elementos de línea que podemos considerar a lo largo de él, para todos los posibles valores de x. Esto da la integral


Q=\int\mathrm{d}q=\int\limits_{-L/2}^{+L/2}\lambda_0\mathrm{d}x=\lambda_0L

En este caso de distribución uniforme de carga la carga total es simplemente el producto de la densidad lineal por la longitud del hilo. La distribución de carga a lo largo del hilo está indicada en la figura, suponiendo que λ0 es positiva. Todos los elementos de línea tienen la misma carga.

2.2 Hilo recto con densidad de carga no uniforme

La geometría es similar a la del caso anterior. La diferencia es que ahora la densidad de carga no es uniforme. Se anula en el punto medio del hilo y es positiva en la parte superior y negativa en la inferior, alcanzando un máximo en valor absoluto en los extremos. Para un elemento de línea dx la carga es

dq = λ(x)dx = Axdx

En este caso la carga total es


Q=\int\mathrm{d}q=\int\limits_{-L/2}^{+L/2}\lambda(x)\mathrm{d}x
=\int\limits_{-L/2}^{+L/2}Ax\mathrm{d}x= 
\left.A\frac{x^2}{2}\right|_{-L/2}^{+L/2}=0

La carga total es cero. Como puede verse en el dibujo, la distribución de carga es simétrica respecto al punto medio, positiva por arriba y negativa por abajo, de modo que la carga neta se anula.

Este problema muestra como dar la carga total de un objeto no proporciona toda la información de la distribución de carga que tiene. Así, este hilo tiene carga total cero, pero va a producir un campo eléctrico, pues hay separación de cargas positivas y negativas en él.

2.3 Hilo circular con densidad de carga uniforme

De nuevo tenemos una distribución de carga filiforme, es decir, basta una coordenada para describir la posición de un punto a lo largo del hilo. La diferencia con el caso anterior es que no vamos a escoger como coordenada la longitud recorrida sobre el hilo, sino el ángulo φ indicado en la figura. Como la densidad de carga es uniforme, cualquier punto puede escogerse como φ = 0. Para describir todos los puntos del anillo el ángulo debe recorrer los valores

 
\phi\in[0,2\pi]

La longitud de un elemento de línea del anillo es

dl = R

Y la carga de ese elemento de línea es

dq = λ(φ)dl = λ0R

Hemos usado que la densidad lineal de carga tiene el mismo valor para todos los valores de φ.

Para obtener la carga total del anillo integramos para todos los valores de φ

 
Q=\int\mathrm{d}q=\int\limits_0^{2\pi}\lambda_0R\mathrm{d}\phi=2\pi R\lambda_0

Como la densidad de carga es uniforme la carga total es el producto de λ0 y la longitud del anillo.

2.4 Disco cargado uniformemente

Si despreciamos el grosor del disco, podemos considerarlo una superficie, por lo que son necesarias dos coordenadas para especificar un punto. Nos dicen que el disco tiene una densidad superficial de carga uniforme σ0. Si consideramos un elemento de superficie dS, la carga de dicho elemento es

dq = σ0dS

La carga total del disco se obtiene sumando la carga de todos los elementos de superficie que podemos considerar en él, es decir

 
Q=\int\limits_S\mathrm{d}q=\int\limits_S\sigma_0\mathrm{d}S=
\sigma_0\int\limits_S\mathrm{d}S=\sigma_0\pi R^2

Al ser la densidad de carga uniforme puede salir de la integral. Entonces la integral es la suma de las áreas de todos los elementos de superficie del disco, es decir, el área total del disco.

Si la densidad de carga no fuese uniforme habría que hacer la integral correspondiente. Para ello podrían usarse las coordenadas cartesianas x e y, aunque en este caso suele ser más cómodo usar las coordenadas polares r y φ. La elección del sistema de coordenadas depende de como se especifique la densidad de carga σ.

2.4.1 Resolución con superposición de anillos

Otra forma de calcular la carga es considerar que un disco puede considerarse compuesto de un conjunto infinito de coronas circulares, cada una de ellas de radio r y espesor dr. Una de estas coronas se indica en la figura. Para barrer todo el disco el radio de las coronas debe recorrer los valores

 
r\in[0,R]

En este caso el elemento de superficie es la corona circular. Si dr es muy pequeño, el área de la corona se puede aproximar por la de un paralelogramo cuya base es la longitud de la corona y su altura es su grosor, esto es

dS = 2πrdr

Esto es equivalente a considerar la Tierra plana. La altura media de una persona es muy pequeña comparada con el radio de la Tierra, y por eso puede considerarse plana. En este caso, el equivalente de la altura es el grosor de la corona dr y el equivalente del radio de la Tierra es el radio de la corona dr. Entonces la carga que hay en cada una de las coronas es

dq = σ0dS = 2πσ0rdr

La carga total del disco se calcula sumando la carga de todas las coronas

 
Q=\int\limits_S\mathrm{d}q=\int\limits_0^R2\pi\sigma_0r\mathrm{d}r=
2\pi\sigma_0\int\limits_0^R r\mathrm{d}r=\sigma_0\pi R^2

Obtenemos el mismo resultado que antes, lo cual es lógico. Sin embargo, esta técnica es interesante para el caso en que la densidad de carga no sea uniforme, sino que dependa de la coordenada radial r. Un ejemplo podría ser σ = Ar, donde la densidad de carga es nula en el centro y crece al acercarnos al borde del disco. Calcular la carga total en este caso sería muy sencillo con este método

 
Q=\int\limits_S\mathrm{d}q=\int\limits_0^R2\pi\sigma(r)r\mathrm{d}r=
2\pi A\int\limits_0^R r^2\mathrm{d}r=\frac{2\pi A}{3}\sigma_0 R^3

2.5 Esfera cargada uniformemente

En este caso la distribución de carga es un volumen, es decir, se necesitan tres coordenadas para especificar cada uno de sus puntos. Estas pueden ser las coordenadas cartesianas, una vez que hemos escogido un sistema de ejes como se indica en la figura. Sin embargo, cuando se trata con esferas, a menudo es mejor utilizar las coordenadas esféricas r, θ y φ. r es la distancia del punto al origen, θ es el ángulo que forma con el eje Z la línea que une el origen con el punto y φ es el ángulo que forma con el eje X la proyección de esa línea sobre el plano XY.

En este caso la densidad de carga es uniforme, por lo que no será necesario utilizar estas coordenadas. Para un elemento de volumen dV como el de la figura, la carga eléctrica es

dq = ρ0dV

La carga en toda la esfera es la suma de la carga de todos los posibles elementos de volumen en su interior, esto es

 
Q=\int\limits_V\mathrm{d}q=\int\limits_V\rho_0\mathrm{d}V=
\rho_0\int\limits_V\mathrm{d}V=\frac{4\pi}{3}R^3\rho_0

2.5.1 Resolución con superposición de coronas esféricas

Podemos hacer el cálculo considerando que la esfera es un conjunto de infinitas coronas esféricas de radio r y grosor dr, con

 
r\in[0,R]

Como en el caso del disco y la coronas circulares, para calcular el volumen de cada corona esférica se puede considerar un paralelepípedo de base el área de la esfera de radio r y de altura el grosor de la corona esférica (en este caso la analogía con la Tierra es completa). Entonces el volumen de cada corona esférica es

dV = 4πr2dr

y la carga de cada corona es

dq = ρ0dV = 4πρ0r2dr

Entonces la carga total de la esfera es

 
Q=\int\limits_V\mathrm{d}q=4\pi\rho_0\int\limits_0^R r^2\mathrm{d}r=
\frac{4\pi}{3}R^3\rho_0

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