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Ejemplo de sistema de tres partículas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son,

i mi (g) \vec{r}_i (m) \vec{v}_i (m/s)
1 400 0.90\vec{\imath} 3.00\vec{\jmath}
2 500 1.20\vec{\jmath} -1.20\vec{\imath}
3 300 -1.60\vec{\imath} 4.00\vec{\jmath}

Las tres partículas están conectadas por resortes de longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema, siendo la constante de los que unen la masa 2 con la 1 y la 2 con la 3 k_{21}=k_{23}=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y el que une la 1 con la 3 k_{13}=32\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

Para el instante indicado:

  1. Determine la aceleración de cada partícula.
  2. Calcule la posición, velocidad y aceleración del CM.
  3. Calcule el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  4. Halle la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  5. Calcule las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

2 Aceleraciones

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración de cada masa es proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella

\vec{a}_i = \frac{1}{m_i}\vec{F}_i

En este caso, las fuerzas sobre cada masa son suma de las fuerzas elñasticas, que verifican la ley de Hooke

\vec{F}_{i\to k} = -k_{ik}\left(\vec{r}_k-\vec{r}_i\right)

Así nos queda

Masa 1
La fuerza neta sobre este masa vale
\vec{F}_1 =-k_{12}(\vec{r}_1-\vec{r}_2)-k_{13}(\vec{r}_1-\vec{r}_3)=\left(-100(0.90\vec{\imath}-1.20\vec{\jmath})-32(0.90\vec{\imath}-(-1.60\vec{\imath}))\right)\mathrm{N} = \left(-170\vec{\imath}+120\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{N}
y su aceleración
\vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1}=\frac{-170\vec{\imath}-120\vec{\jmath}}{0.400}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=\left(-425\vec{\imath}+300\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
Masa 2
Para la segunda masa, la fuerza es
\vec{F}_2 = -k_{12}(\vec{r}_2-\vec{r}_1)-k_{23}(\vec{r}_2-\vec{r}_3) =\left(-100(1.20\vec{\jmath}-0.90\vec{\imath})-100(1.20\vec{\jmath}-(-1.60\vec{\imath}))\right)\mathrm{N} = \left(-70\vec{\imath}-240\vec{\jmath}\right)\mathrm{N}
y la aceleración
\vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} =\frac{-70\vec{\imath}-240\vec{\jmath}}{0.500}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(-140\vec{\imath}-480\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
Masa 3
Por último
\vec{F}_3 = -k_{13}(\vec{r}_3-\vec{r}_1)-k_{23}(\vec{r}_3-\vec{r}_1) =\left(-32(-1.60\vec{\imath}-0.90\vec{\imath})-100(-1.60\vec{\imath}-1.20\vec{\jmath})\right)\mathrm{N}= \left(240\vec{\imath}+120\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{N}
siendo la aceleración
\vec{a}_3 = \frac{\vec{F}_3}{m_3} =\frac{240\vec{\imath}+120\vec{\jmath}}{0.300}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(800\vec{\imath}+400\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Puede comprobarse que la suma de todas las fuerzas es nula, como corresponde a que se trate de fuerzas internas newtonianas.

3 Centro de masas

La posición, velocidad y aceleración del centro de masas son las respectivas medias ponderadas de las propiedades de las tres partículas.

Posición

\vec{r}_C=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3} = \frac{0.400(0.90\vec{\imath})+0.500(1.20\vec{\jmath})+0.300(-1.6\vec{\imath})}{0.400+0.500+0.300}\,\mathrm{m}=\left(-0.10\vec{\imath}+0.50\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}
Velocidad

\vec{v}_C=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3}{m_1+m_2+m_3} = \frac{0.400(3.00\vec{\jmath})+0.500(-1.20\vec{\imath})+0.300(4.00\vec{\jmath})}{0.400+0.500+0.300}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(-0.50\vec{\imath}+2.00\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Aceleración
Operando de la misma forma con las aceleraciones calculadas en el apartado anterior queda

\vec{a}_C=\frac{m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2+m_3\vec{a}_3}{m_1+m_2+m_3} = \vec{0}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
La aceleración del CM es nula, al ser todas las fuerzas internas y newtonianas.

4 Momento cinético

El momento cinético del sistema respecto a un punto es igual a la suma de los momentos cinéticos respectivos

\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2+m_3\vec{r}_3\times\vec{v}_3

Sustituyendo cada uno de los valores del enunciado calculamos el momento cinético respecto al origen de coordenadas

\vec{L}_O = \left(0.400\left(0.90\vec{\imath}\right)\times\left(3.00\vec{\jmath}\right)+0.500\left(1.20\vec{\jmath}\right)\times\left(-1.20\vec{\imath}\right)+0.300\left(-1.60\vec{\imath}\right)\times\left(4.00\vec{\jmath}\right)\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}} = \left(-0.12\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

Este momento cinético puede descomponerse en la forma

\vec{L}_O = M\vec{r}_C\times\vec{v}_C + \vec{L}'

De aquí podemos despejar el momento cinético respecto al centro de masas


\vec{L}' = \vec{L}_O-M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = \left(-0.12\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}-1.200\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -0.10 & 0.50 & 0.00 \\ -0.50 & 2.00 & 0.00 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(-0.18\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

5 Energía cinética

Operando de manera análoga se calcula la energía cinética. la total del sistema vale

K=\frac{1}{2}m|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2|^2+\frac{1}{2}m_3|\vec{v}_3|^2 =\left(1.80+0.36+2.40\right)\,\mathrm{J}=4.56\,\mathrm{J}

Como con el momento cinético, la energía cinética se puede descomponer en una parte debida al movimiento con el centro del masas más una parte asociada al movimiento alrededor de él

K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 +K'

Despejamos la energía cinética relativa al CM

K' = K - \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 = \left(4.56-2.55\right)\mathrm{J}=2.01\,\mathrm{J}

6 Derivadas temporales

6.1 Cantidad de movimiento

En un sistema de partículas la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas, que en este caso es nula (todas las fuerzas son internas)

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \vec{F}_{i\mathrm{ext}}=\vec{0}

6.2 Momento cinético

Análogamente, la derivada del momento cinético es igual a la resultante de los momentos de las fuerzas externas aplicadas, que en este caso será también nula

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_{i\mathrm{ext}}=\vec{0}

6.3 Energía cinética

La derivada de la energía cinética, en cambio, depende también de las fuerzas internas

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\sum_i \vec{F}_i\cdot\vec{v}_i

Sumando las potencias indivuales

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\left(\left(-170\vec{\imath}+120\vec{\jmath}\right)\cdot\left(3.00\vec{\jmath}\right)+ \left(-70\vec{\imath}-240\vec{\jmath}\right)\cdot\left(-1.20\vec{\imath}\right)+\left(240\vec{\imath}+120\vec{\jmath}\right)\cdot\left(4.00\vec{\jmath}\right)\right)\mathrm{W}=924\,\mathrm{W}

Esta potencia se emplea por completo en modificar la energía cinética respecto al centro de masas, K', ya que la energía cinética de traslación es constante por moverse el CM de manera uniforme (de acuerdo con la conservación de la cantidad de movimiento). Este aumento en la energía cinética se hace a costa de la energía potencial elástica almacenada en los tres resortes.

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