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Ejemplo de movimiento rectilíneo no uniforme

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su posición sigue la ley, en el SI

x(t) = (t^3-33t^2+216t)\,\mathrm{m}

entre t=0\,\mathrm{s} y t=24\,\mathrm{s}.

  1. Calcule la velocidad y la aceleración de este movimiento.
  2. ¿Cuál es la máxima distancia de la posición inicial a la que llega a encontrarse la partícula? ¿Cuánto vale el desplazamiento neto a lo largo del intervalo? ¿Y la distancia total recorrida?
  3. ¿Cuánto valen la máxima y la mínima rapidez de este movimiento?

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

La velocidad instantánea es igual a la derivada de la posición respecto al tiempo

v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \left(3t^2-66t+216\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

2.2 Aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \left(6t-66\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

3 Distancia y desplazamiento

3.1 Máxima distancia

El punto de partida se encuentra en

x(0\,\mathrm{s}) = 0\,\mathrm{m}

La máxima distancia de este punto se encuentra en el momento en el que la velocidad instantánea se anula (a partir de ahí vuelve a acercarse a la posición inicial. También puede ocurrir que la máxima distancia se encuentre al final del intervalo.

La velocidad instantánea se anula en

0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \left(3t^2-66t+216\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\Rightarrow\qquad t=4\,\mathrm{s}\qquad \mbox{o}\qquad t = 18\,\mathrm{s}

La posición en esos dos instantes se encuentra en

x(4\,\mathrm{s})=400\,\mathrm{m}\qquad \mbox{y}\qquad x(18\,\mathrm{s}) = -972\,\mathrm{m}

Al final del intervalo se cumple

x(24\,\mathrm{s})=0\,\mathrm{m}

esto es, retorna a su posición inicial.

Por tanto la partícula parte del origen, avanza hacia valores positivos de x, hasta llegar a una distancia de 400 m. A partir de ahí retrocede, volviendo a pasar por la posición inicial (haciendo x(t) = 0 se ve que esto ocurre en t=9\,\mathrm{s}) y llega a estar a 972\,\mathrm{m} a la izquierda. Ahí se detiene, vuelve a avanzar y finalmente acaba en la posición inicial.

Archivo:xdet-cubica.png

La máxima distancia de la posición inicial es entonces

|x|_\mathrm{max}=972\,\mathrm{m}

3.2 Desplazamiento

El desplazamiento es neto es la diferencia entre la posición final y la inicial

\Delta x = x(24\,\mathrm{s})-x(0\,\mathrm{s}) = 0\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m} = 0\,\mathrm{m}

3.3 Distancia recorrida

La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400 m, luego retrocede esos mismos 400 m y hace 972 m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972 m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

\Delta s = 400\,\mathrm{m}+400\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}=2744\,\mathrm{m}

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

\Delta s = \int_0^T |v|\,\mathrm{d}t

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula.

Archivo:vdet-cubica.png        Archivo:absvdet-cubica.png

Esto nos da

|v| = \begin{cases} \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 0\,\mathrm{s} < t < 4\,\mathrm{s} \\ -\left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 4\,\mathrm{s} < t < 18\,\mathrm{s} \\ \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 18\,\mathrm{s} < t < 24\,\mathrm{s}\end{cases}

Integrando esto

\Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t-\int_4^18 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_18^24 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t = \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}

4 Rapidez extrema

4.1 Mínima

Puesto que hay dos instantes en que la velocidad se anula, la rapidez mínima es obviamente

|v|_\mathrm{min} = 0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4.2 Máxima

La rapidez máxima se alcanza o bien cuando la aceleración se anula o bien en los extremos del intervalo.

Archivo:adet-cubica.png

La aceleración se anula en

0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(6t-66\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\qquad\Rightarrow\qquad t=11\,\mathrm{s}

En este instante la velocidad y la rapidez tienen el valor

v(11\,\mathrm{s}) = -147\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\Rightarrow\qquad |v| = 147\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

En los extremos del intervalo, la velocidad vale

v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        v(24\,\mathrm{s}) = 360\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Por tanto, la rapidez máxima no se alcanza cuando se anula la velocidad sino al final del intervalo

|v|_\mathrm{max} = 360\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

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