Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Ejemplo de movimiento armónico tridimensional

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en todo momento verifica la ecuación del oscilador armónico en tres dimensiones

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}

siendo su posición y velocidad iniciales

\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}
  1. Calcule la posición, velocidad y aceleración de la partícula en todo instante.
  2. Para el instante t = 0 halle:
    1. El triedro de Frenet: \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}.
    2. Las componentes intrínsecas de la aceleración (en forma escalar y vectorial).
    3. La posición del centro de curvatura.
  3. Empleando coordenadas cilíndricas y su base asociada:
    1. Escriba las ecuaciones horarias \{\rho(t),\varphi(t),z(t)\}.
    2. Escriba los vectores de posición, velocidad y aceleración como función del tiempo.
  4. Identifique este movimiento: ¿Es plano? ¿Es rectilíneo? ¿Es uniforme? ¿Cómo es la trayectoria? Justifique las respuestas.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Posición

En un oscilador armónico tridimensional, la solución general para la posición es de la forma

\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

Sustituimos los datos del enunciado y queda

\vec{r}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)\cos(\omega t)+\left(4h\vec{\imath}\right)\mathrm{sen}(\omega t)
= 4h\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+4h\cos(\omega t)\vec{\jmath}+3h\cos(\omega t)\vec{k}

2.2 Velocidad

Una vez que tenemos la posición instantánea, calculamos la velocidad instantánea derivando respecto al tiempo

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=4h\omega\cos(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}

2.3 Aceleración

Para hallar la aceleración podemos derivar de nuevo o usar la ecuación del oscilador armónico

\vec{a}=-\omega^2 \vec{r}=-4h\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-4h\omega^2\cos(\omega t)\vec{\jmath}-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}

3 Estado en t=0

Para analizar el estado en t = 0 no necesitamos el apartado anterior, ya que el enunciado nos da la posición

\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0=4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}

la velocidad

\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0=4h\omega\vec{\imath}

y la aceleración

\vec{a}(t=0)=-\omega^2\vec{r}_0=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}

3.1 Triedro de Frenet

3.1.1 Vector tangente

Es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4h\omega\vec{\imath}}{4h\omega}=\vec{\imath}

3.1.2 Vector normal

Es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal. En este instante tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad

\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\right)\cdot\left(4h\omega\vec{\imath}\right)=0

por lo que toda la aceleración es normal, siendo su módulo

\vec{a}_n=\vec{a}\qquad |\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2

lo que da el vector normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}}{5h\omega^2}=-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}

3.1.3 Vector binormal

Es el producto vectorial de los dos anteriores

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{\imath}\times\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{3}{5}\vec{\jmath}-\frac{4}{5}\vec{k}

También podía hallarse directamente como

\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

3.2 Componentes de la aceleración

3.2.1 Tangencial

Según hemos visto, en este instante la aceleración es ortogonal a la velocidad, por lo que no tiene componente tangencial

\vec{a}_t=\vec{0}\qquad\qquad a_t=0

3.2.2 Normal

Al ser nula la aceleración tangencial en este instante, la aceleración normal es toda la aceleración

\vec{a}_n=\vec{a}=-4h\omega^2\vec{\jmath}-3h\omega^2\vec{k}\qquad \qquad a_n=|\vec{a}_n|=h\omega^2\sqrt{4^2+3^2}=5h\omega^2

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura en este instante es igual a

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{16h^2\omega^2}{5h\omega^2}=\frac{16}{5}h

y el centro de curvatura

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\left(4h\vec{\jmath}+3h\vec{k}\right)+\frac{16}{5}h\left(-\frac{4}{5}\vec{\jmath}-\frac{3}{5}\vec{k}\right)=\frac{36}{25}h\vec{\jmath}+\frac{27}{25}h\vec{k}

4 Expresión en cilíndricas

4.1 Coordenadas

Si separamos la posición instantánea en sus componentes cartesianas nos queda

\left\{\begin{array}{rcl}x & = & 4h\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ y & = & 4h\cos(\omega t) \\ z & = & 3h\cos(\omega t)\end{array}\right.

La coordenada radial ρ es la distancia al eje Z

\rho=\sqrt{x^2+y^2}=4h

Esta distancia es constante, ya que la proyección en el plano XY describe un movimiento circular.

Para la coordenada acimutal tenemos

\mathrm{tg}(\varphi)=\frac{y}{x}=\frac{\cos(\omega t)}{\mathrm{sen}(\omega t)}=\mathrm{cotg}(\omega t)\qquad\Rightarrow\qquad \varphi= \frac{\pi}{2}-\omega t

ya que la cotangente es la tangente del complementario.

Por último la coordenada vertical es la misma que en cartesianas

z = 3h\cos(\omega t)\,

Inversamente, el paso de cilíndricas a cartesianas es

x = \rho\cos(\varphi)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\qquad z = z

y comparando esta expresión con la de este movimiento concreto es claro que la coordenada radial es constante y que el ángulo \varphi va como el complementario de ωt (ya que se intercambia el seno por el coseno).

4.2 Vectores

4.2.1 Posición

La expresión del vector de posición en cilíndricas es

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}

que en este caso queda

\vec{r}=4h\vec{u}_\rho+3h\cos(\omega t)\vec{k}

4.2.2 Velocidad

La expresión para la velocidad es

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}

que en este caso, al ser la coordenada radial constante

\vec{v}=-4h\omega\vec{u}_\varphi-3h\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}

4.2.3 Aceleración

Recurriendo de nuevo a la ecuación del oscilador armónico nos ahorramos escribir la expresión general en cilíndricas.

\vec{a}=-\omega^2\vec{r}=-4h\omega^2\vec{u}_\rho-3h\omega^2\cos(\omega t)\vec{k}

5 Descripción del movimiento

Este es un movimiento plano, ya que se puede escribir como combinación lineal de dos vectores

\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

No es rectilíneo ya que según hemos visto su aceleración normal no es nula.

Tampoco es uniforme, ya que su rapidez no es constante. Si hallamos esta en general queda

|\vec{v}|=\sqrt{16h^2\omega^2+9h^2\omega^2\mathrm{sen}^2(\omega t)}

La forma de la trayectoria es una elipse como corresponde a la solución general del oscilador armónico tridimensional

Archivo:elipse-oblicua.gif

Se puede ver también que es una elipse porque se trata de la intersección de un cilindro con un plano oblícuo

x^2+y^2 = (4h)^2\qquad 3y - 4z = 0\,

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 20:05, 9 nov 2015. - Esta página ha sido visitada 3.178 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace