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Ejemplo de integración numérica

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

Archivo:velocidad-circulo.png

La partícula parte de s = 0.

  1. Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en t=16\,\mathrm{s}.
  2. Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es
v = \sqrt{1+16t-t^2}
¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

2 Solución numérica

Si conocemos la velocidad instantánea, podemos hallar el desplazamiento a base de sumar los desplazamientos diferenciales

\Delta s = \int_0^T v(t)\,\mathrm{d}t

Gráficamente, esto equivale a hallar el área bajo la curva de la velocidad frente al tiempo.

Examinando la figura, podemos ver que la curva corta la cuadrícula en los puntos de coordenadas enteras (en el SI) (0,1), (1,4), (4,7), (7,8), (9,8), (12,7), (15,4) y (16,1):

Archivo:velocidad-trapecios.png

El área bajo la curva puede entonces ser aproximada por una suma de trapecios, siendo la fórmula para el área de cada uno

\Delta S = \frac{b+B}{2}h = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}\Delta t

Aplicando esto a nuestro caso obtenemos el desplazamiento aproximado

\Delta s = \left(\frac{1+4}{2}\cdot 1+\frac{4+7}{2}\cdot 3+\frac{7+8}{2}\cdot 3+\frac{8+8}{2}\cdot 2 + \frac{8+7}{2}\cdot 3+\frac{7+4}{2}\cdot 3+\frac{4+1}{2}\cdot 1\right)\,\mathrm{m} = 99\,\mathrm{m}

Existen otras formas numéricas de aproximar el resultado, según como se aproxime la curva. En este caso, se puede hacer coincidir con muy buena aproximación por media circunferencia de radio \sqrt{65}, con lo que el área valdría

\Delta s \simeq \frac{65 \pi}{2}\,\mathrm{m}=102.10\,\mathrm{m}

3 Solución analítica

Integrando analíticamente la función obtenemos, midiendo todas las magnitudes en el SI

\Delta s =\int_0^{16} \sqrt{1+16t-t^2}\,\mathrm{d}t

Para resolver esta integral, primero completamos cuadrados, sumando y restando 64

\Delta s =\int_0^{16} \sqrt{65-(t-8)^2}\,\mathrm{d}t

Haciendo un cambio de variable

u = t -8\qquad\Rightarrow\qquad \Delta s = \int_{-8}^8 \sqrt{65-u^2}\,\mathrm{d}u

Con un nuevo cambio de variable

u = \sqrt{65}\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\Rightarrow\qquad \Delta s = 65 \int_{-\varphi_0}^{\varphi_0} \cos^2(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi

siendo

\varphi_0=\mathrm{arcsen}\left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)=\,\mathrm{arctg}(8)

La integral trigonométrica se calcula de forma sencilla


\Delta s = 65 \int_{-\varphi_0}^{\varphi_0} \cos^2(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi = \frac{65}{2}\int_{-\varphi_0}^{\varphi_0}(1+\cos(2\varphi))\mathrm{d}\varphi=65\left(\varphi_0+\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2\varphi_0)\right)

Sustituyendo el valor de \varphi_0

\Delta s= 65\,\mathrm{arctg}\left(8\right)+65\frac{8}{\sqrt{65}}\,\frac{1}{\sqrt{65}} = 65\,\mathrm{arctg}\left(8\right)+8

El valor numérico de este resultado es

\Delta s = 102.02\,\mathrm{m}

siendo el error relativo cometido

\epsilon=\left|\frac{99-102}{102}\right| \simeq 0.03 = 3\%

esto es un error de solo un 3%, siendo los cálculos numéricos mucho más fáciles que los exactos.

En el caso de la aproximación por medio círculo, el error es mucho menor

\epsilon=\left|\frac{102.10-102.02}{102.02}\right| \simeq 0.08\%

esto es, un error en la cuarta cifra decimal.

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