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Ejemplo de estimación de longitudes y volúmenes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un bloque de aluminio de forma cúbica cuya masa es aproximadamente 2.5 kg. Estime el valor de la arista del cubo, así como su superficie lateral. Si se sabe que la incertidumbre de la medida de la masa es de 100 g, ¿entre qué valores se hallarán la arista y el área lateral?

¿Y si en vez de aluminio fuera oro?

2 Arista

El volumen de un cubo es la arista al cubo, por tanto

L = V^{1/3} = \left(\frac{M}{\rho}\right)^{1/3}

Necesitamos la densidad de masa del aluminio. Sabemos que es un metal ligero cuya densidad es más o menos la de las rocas (unos 3 g/cm³) pero lo consultamos en la red y vemos que vale

\rho_\mathrm{Al} = 2.70\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times\frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}}\times\left(\frac{100\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{m}}\right)^3 = 2700\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}

Sustituyendo los valores de la masa y la densidad quedaría

L = 0.097467257940428868850\ldots\,\mathrm{m}

Sin embargo, no es lógico un resultado con tantos decimales, cuando de los datos del problema, la densidad se da con 3 cifras significativas y la masa solo con 2. Si no sabemos la tercera cifra significativa de la masa, ¿cómo podemos esperar conocer la 12ª de la arista? Siendo coherentes, debemos mantener el número de cifras significativas en el menor de los de los datos (2, en este caso), por lo que

L = 0.097\,\mathrm{m} = 9.7\,\mathrm{cm}

3 Área lateral

El área lateral es la de seis cuadrados de lado L o, directamente en función del volumen

S = 6V^{2/3} = 6\left(\frac{M}{\rho}\right)^{2/3} = 0.056999198\ldots\mathrm{m}^2 = 0.057\,\mathrm{m}^2

donde de nuevo hemos redondeado a 2 cifras significativas. En cm²

S = 570\,\mathrm{cm}^2

Obsérvese que el número de cifras significativas sigue siendo 2, aunque ahora la cantidad tiene tres dígitos.

4 Incertidumbres

Una mejor estimación de la expresión correcta lo obtenemos si conocemos la incertidumbre de la medida original, la cual se expresa mediante las bandas de error, de forma que

M = (2.5\pm 0.1)\,\mathrm{kg}

esto es, que el valor de la masa verifica, con gran probabilidad,

2.4\,\mathrm{kg} < M < 2.6\,\mathrm{kg}

Tomando los valores extremos de este intervalo obtenemos el intervalo para la longitud

0.09614997\,\mathrm{m} < L < 0.09874987\,\mathrm{m}

con lo que vemos que efectivamente tenemos una incertidumbre en la segunda cifra significativa (el tercer decimal). Por ello se expresará mejor como

0.096\,\mathrm{m} < L < 0.099\,\mathrm{m}

Operando igualmente para el área lateral

0.0554689\,\mathrm{m}^2 < S < 0.0585092\,\mathrm{m}^2

lo que se expresa, redondeando hasta la primera cifra incierta

0.055\,\mathrm{m}^2 < S < 0.059\,\mathrm{m}^2

5 Caso del oro

Para un cubo de oro, el cálculo es análogo, salvo que el oro es mucho más denso que el aluminio (casi 20 toneladas por metro cúbico)

\rho_\mathrm{Al} = 19.30\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times\frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}}\times\left(\frac{100\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{m}}\right)^3 = 19300\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}

lo que nos da el intervalo de longitudes

0.050\,\mathrm{m} < L < 0.051\,\mathrm{m}

y de áreas laterales

0.015\,\mathrm{m}^2 < S < 0.016\,\mathrm{m}^2

Vemnos que resulta un cubo con casi la mitad de arista que en el caso del aluminio. De hecho podemos obtener la proporcioón entre longitud y entre áreas de manera general, sin saber la cantidad exacta de metal

\frac{L_\mathrm{Al}}{L_\mathrm{Au}}=\left(\frac{\rho_\mathrm{Au}}{\rho_\mathrm{Al}}\right)^{1/3} = 1.92

y

\frac{S_\mathrm{Al}}{S_\mathrm{Au}}=\left(\frac{\rho_\mathrm{Au}}{\rho_\mathrm{Al}}\right)^{2/3} = 3.71

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