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Ejemplo de bomba de calor de Carnot

De Laplace

1 Enunciado

Una bomba de calor se emplea para mantener caliente una vivienda que se encuentra a 20.0°C siendo la temperatura exterior -5.00°C. Suponiendo que la bomba de calor es una máquina de Carnot invertida, calcule cuantos julios de energía procedentes del medio ambiente exterior serán transferidos al interior de la vivienda por cada julio de energía eléctrica consumida. Explique las ventajas e incovenientes de este sistema de calefacción frente a uno convencional de disipación de energía en una resistencai eléctrica.

2 Solución

La figura muestra el esquema de una máquina de Carnot funcionando como bomba de calor. En cada ciclo, se realiza un trabajo | W | sobre la máquina, está extrae | Qf | del foco frío (el exterior de la casa) y suministra | Qc | al foco caliente (la habitación que se quiere calentar). El COP de la bomba de Carnot es el cociente entre el calor suministrado al foco caliente y el trabajo realizado sobre la máquina en cada ciclo


\mathrm{COP}=\frac{|Q_c|}{|W|}

Aplicando el Primer Principio a un ciclo de la máquina podemos escribir


\mathrm{COP}=\frac{|Q_c|}{|Q_c|-|Q_f|}=\frac{1}{1-\frac{\displaystyle|Q_f|}{\displaystyle |Q_c|}}=
\frac{1}{1-\frac{\displaystyle T_f}{\displaystyle T_c}}=
\frac{T_c}{T_c-T_f}

Hemos usado la relación entre los calores transferidos con los focos obtenida en el análisis de la máquina de Carnot con un gas ideal


\frac{|Q_c|}{T_c}=\frac{|Q_f|}{T_f}

Es importante recordar que estas temperaturas son absolutas. Hay que pasar las temperaturas en Celsius a la escala absoluta. El COP en este caso es


\mathrm{COP}=\frac{273.15+20.0}{(273.15+20.0)-(273.15-(-5.00))}=11.7

De la definición del COP vemos que el calor transferido al foco caliente es

| Qc | = (COP) | W |

Es decir, por cada julio de trabajo realizado sobre la máquina ésta aporta 11.7 J de energía térmica al foco caliente.

En los calentadores eléctricos, el calor proviene de la energía disipada por efecto Joule en una resistencia eléctrica. Prácticamente toda la energía que se aporta a la resistencia se convierte en calor. Eso quiere decir que un calefactor eléctrico se obtiene 1 J de calor por cada Julio de trabajo aportado, esto es, su coeficiente de desempeño es COPelec = 1. Vemos que la bomba de calor de Carnot es mucho más eficiente que un calentador eléctrico.

Las bombas de calor reales no proporcionan el COP de una bomba de Carnot. Valores típicos varían entre 2 y 5. Pero en cualquier caso siempre son más eficientes que los calentadores eléctricos. El inconveniente es que son más caras y no son transportables. No podemos llevarnos una bomba de calor del salón al dormitorio de una forma sencilla, pues la bomba de calor tiene que tener siempre una salida al exterior (el foco frío). Los calentadores eléctricos sí se pueden mover de manera sencilla.

La eficiencia de la bomba de calor disminuye si la temperatura del foco frío es muy baja. Esto puede verse en la expresión del COP teórico, pues un valor menor de Tf, manteniendo constante Tc hace que el denominador sea mayor y el cociente más pequeño. Por eso las bombas de calor son más eficientes en lugares donde el frío en invierno no sea demasiado intenso. Además, una bomba de calor puede invertir su funcionamiento y servir de refrigerador en verano. Esto se consigue con una válvula reversible. Por ello, se ha extendido su uso en zonas de climas templados (alrededor del Mediterráneo, sur de Estados Unidos, etc). En zonas de climas fríos pueden usarse bombas de calor cuyo foco frío no sea la atmósfera, sino el subsuelo. A unos cuantos metros bajo el suelo la temperatura se mantiene relativamente constante durante el año, y significativamente mayor que en la atmósfera en invierno. Por supuesto, el coste de la instalación de estas bombas de calor aumenta de un modo considerable.

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