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Eficiencia de aparatos hipotéticos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?

Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el contenido refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, siendo su potencia de 12000 frigorías (una frigoría equivale a 1 kcal/h de calor extraído) con un consumo de 1000 W. ¿Le hacemos caso?

2 Motor hipotético

2.1 A partir del teorema de Carnot

El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

\eta = \frac{W_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%

De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

\eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.

2.2 A partir de la variación en la entropía

Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo.

La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}\,

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

\Delta S_\mathrm{sis} = 0\,        (proceso cíclico)

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura TC), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura TF).

\Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}

(aquí los subíndices in y out se refieren a la máquina; el calor que sale del foco caliente entra en la máquina, por lo que lo etiquetamos como Qin). Sustituyendo los valores

T_C = 500\,\mathrm{K}        Q_C = Q_\mathrm{in}=700\,\mathrm{kJ}        T_F = 290\,\mathrm{K}        |Q_F| = Q_\mathrm{out}=400\,\mathrm{kJ}

queda la variación de entropía

\Delta S_\mathrm{amb}= -\frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}+\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}

La variación de entropía del universo será

\Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=0\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}<0

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.

3 Refrigerador hipotético

Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el coeficiente de desempeño, COPR, que se define usando la misma lógica que para el rendimiento:

\mathrm{COP}_R = \frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in}}

Esta relación se aplica también al calor extraído en la unidad de tiempo y a la potencia necesaria para hacerlo funcionar

\mathrm{COP}_R = \frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{\dot{W}_\mathrm{in}}

A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es

\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{T_F}{T_C-T_F}

Para los datos del enunciado

\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{275}{297-275} = \frac{25}{2}=12.5

El coeficiente de desempeño del enunciado corresponde a un calor extraído por unidad de tiempo

\dot{Q}_\mathrm{in}= 12000\,\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}}\times \frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\times \frac{4184\,\mathrm{J}}{1\,\mathrm{kcal}}=13.95\,\mathrm{kW}

El consumo de potencia es

\dot{W}_\mathrm{in}= 1.0\,\mathrm{kW}

lo que nos da un coeficiente de desempeño

\mathrm{COP}_R = \frac{13.95}{1.0} = 13.95

que es claramente superior al COP máximo y por tanto imposible.


puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.

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