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Efecto Doppler de un tren que pasa frente al observador

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La ecuación sencilla del efecto Doppler es válida cuando el movimiento entre el observador y la fuente se produce en línea recta, de modo que ambos están alejándose o acercándose directamente el uno al otro. Si eliminamos esta restricción, la expresión más general para el efecto Doppler es

f'=\left(\frac{c+v_0\cos\theta_0}{c-v_S\cos\theta_S}\right)f

Aquí, θO es el ángulo que forma la velocidad del observador con la línea que une el observador y la fuente, mientras que θS es el ángulo que forma la velocidad de la fuente con esa misma línea.

  1. Demuestre que, si el observador y la fuente se alejan el uno del otro, la ecuación anterior se reduce a la que hemos visto en teoría con valores negativos tanto para v0 como vS.
  2. Utilice la ecuación anterior para resolver este problema: Un tren se mueve a una velocidad constante de 25.0 m/s hacia un paso a nivel. Un automóvil está parado cerca de la intersección, a 30 m metros de distancia de las vías. Si la frecuencia del silbato del tren es de 500 Hz, ¿cuál es la frecuencia que perciben los ocupantes del automóvil cuando el tren se encuentra a 40.0 m de la intersección?

2 Solución

La figura muestra las velocidades y ángulos de la fuente y el observador como se indica en el enunciado. Los ángulos están medidos respecto a la línea que une en cada instante la fuente y el observador.

2.1 Observador y fuente alejándose

En este caso los ángulos son

θS = θO = π

Con estos valores, la expresión del enunciado queda


\displaystyle f'=\frac{c-v_0}{c+v_S}f

que es precisamente la expresión del efecto Doppler cuando tanto el observador como la fuente se alejan el uno del otro. El coseno viene de proyectar las velocidades sobre la dirección de la recta que une la fuente y el observador. Observemos que al incluir los ángulos ya no es necesario especificar si el movimiento relativo es de alejamiento o acercamiento. Esa información está contenida en el valor de los ángulos.

2.2 Tren acercándose a un coche en reposo

En la figura se indica las posiciones y velocidades del tren (la fuente) y el coche en reposo (el observador). En este caso \mathbf{v}_O=\mathbf{0}. Vamos a determinar la frecuencia percibida por el observador no sólo en el instante indicado por el enunciado, sino para cualquier distancia y del tren al paso a nivel. Para ello debemos determinar el ángulo θ en función de los parámetros y y h. Observando la figura tenemos


\begin{array}{lcccr}
\displaystyle \tan\theta = \frac{h}{y}&&&\displaystyle \cos\theta=\frac{y}{h^2+y^2}
\end{array}

Entonces, la frecuencia percibida por el coche es


\displaystyle f = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}\frac{\displaystyle y}{\displaystyle \sqrt{y^2+h^2}}}
f_S

Vemos en la gráfica como varía la frecuencia percibida en función de la distancia. Cuando el tren está lejos y acercándose la frecuencia percibida corresponde al valor dado por la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente y el observador están en la misma línea. Cuando el tren se aleja el valor límite es el que corresponde al efecto Doppler cuando la fuente se aleja del observador y se mueve a lo largo de la línea que los une. Estos dos valores límite son


\begin{array}{lccr}
\displaystyle f(y\to\infty) = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S,&&
\displaystyle f(y\to-\infty) = \frac{1}{1+\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S&
\end{array}

Esta curva describe la frecuencia que percibimos en realidad cuando, por ejemplo, una ambulancia pasa por la calle en que nos encontramos. Cuando la ambulancia está lejos y acercándose la frecuencia es esencialmente la dada por el efecto Doppler cuando la fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador. Cuando la ambulancia se acerca lo bastante (y\leq5h), la frecuencia percibida decrece, se hace igual a la que emite la fuente en el instante en el que la ambulancia está a la mínima distancia, y sigue decreciendo hasta que, a una distancia y\geq 5h adquiere el valor límite correspondiente a la fuente alejándose a lo largo de la línea observador-fuente.

En la gráfica la línea azul da los valores de la frecuencia percibida aplicando la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador.

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