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Efecto Doppler de dos vehículos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Al lugar de un incendio acuden por la misma carretera rectilínea, en el mismo sentido, un coche de bomberos a 108 km/h y una ambulancia de 72 km/h. El coche de bomberos usa una sirena de 880 Hz, mientras que la ambulancia emplea una de 900 Hz.

  1. En un momento dado el coche de bomberos se encuentra a 4 km del lugar del incendio, y la ambulancia a 3.00 km de él y ambos vehículos hacen sonar sus sirenas. Para una persona situada en el camino de los vehículos, pero 1 km antes del lugar del incendio, ¿cuál de los dos sonidos emitidos en ese instante llega antes?, ¿qué sirena suena más aguda?, ¿en cuántos hercios? ¿Cuál es la frecuencia de la señal y de los batidos que oye esa persona?
  2. Para el conductor de la ambulancia y el del coche de bomberos, ¿cuál es la frecuencia que le llega del otro vehículo cuando se encuentran en la posición del apartado anterior?
  3. A los 2 minutos ambos vehículos hacen sonar sus sirenas otra vez. ¿cómo quedan los dos resultados de los dos apartados anteriores?

Supóngase la velocidad del sonido c = 340 m/s.

2 Señales que llegan a un observador en reposo

2.1 Del coche de bomberos

El coche de bomberos se acerca al observador en reposo con una velocidad

v_B = 108\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Al tratarse de una fuente en movimiento que se acerca a un observador en reposo la frecuencia que éste percibe es

f'_B = \frac{c}{c-v_B}f_B = \frac{340}{340-30}880\,\mathrm{Hz} = 965\,\mathrm{Hz}

2.2 De la ambulancia

La ambulancia se acerca igualmente al observador, aunque a una velocidad menor

v_A = 72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Al tratarse de nuevo de una fuente en movimiento que se acerca a un receptor en reposo la frecuencia que el observador recibe es

f'_A = \frac{c}{c-v_A}f_A = \frac{340}{340-20}900\,\mathrm{Hz} = 956\,\mathrm{Hz}

Vemos que aunque la ambulancia emite a una frecuencia mayor que el coche de bomberos, como consecuencia del efecto Doppler, el observador recibe una frecuencia mayor procedente de la ambulancia que de los bomberos.

2.3 Frecuencia de los batidos

Al llegar al observador dos señales de frecuencias próximas, su superposición produce batidos o pulsaciones en el sonido resultante. La frecuencia de estos batidos es

f_b = \left|f'_B-f'_A\right| = 9\,\mathrm{Hz}

3 Señales que llegan al otro conductor

3.1 Al coche de bomberos

El conductor del coche de bomberos funciona como un observador móvil que recibe señales desde una fuente (la ambulancia) también en movimiento.

El coche de bomberos (receptor) se mueve hacia la ambulancia (emisor), por lo que su velocidad es negativa. La ambulancia se mueve alejándose del punto donde se encontraba el coche de bomberos, por lo que su velocidad también es negativa. Esto da una frecuencia recibida de

f'_A = \frac{c-v_B}{c-v_A}f_A = \frac{340-(-30)}{340-(-20)}900\,\mathrm{Hz} = 925\,\mathrm{Hz}

Resulta una frecuencia mayor que la de emisión, como corresponde a que, al moverse más rápido, el coche de bomberos se está acercando a la ambulancia.

3.2 A la ambulancia

El conductor de la ambulancia funciona como observador móvil que recibe señales de una fuente también en movimiento.

La ambulancia (receptor) se aleja del punto donde estaba el coche de bomberos por lo que su velocidad es positiva. El coche de bomberos (fuente) se mueve hacia la ambulancia, por lo que su velocidad también es positiva. Esto da una frecuencia recibida de

f'_B = \frac{c-v_A}{c-v_B}f_A = \frac{340-20}{340-30}880\,\mathrm{Hz} = 908\,\mathrm{Hz}

De nuevo, aunque la ambulancia se está moviendo en la dirección opuesta a la fuente, resulta una frecuencia mayor que la de emisión, ya que el movimiento relativo es de acercamiento.

4 Señales dos minutos después

Dos minutos más tarde, la ambulancia y el coche de bomberos han cambiado de posición.

El coche de bomberos ha recorrido 120&times&30=3600 m, lo que lo sitúa a 400 m del incendio.

La ambulancia se ha desplazado 120×20=2400 m, con lo que se encuentra a 600 m del incendio.

El observador no se ha movido, con lo que ahora se encuentra a 400 m de la ambulancia y 600 m del coche de bomberos, con ambos vehículos alejándose de él.

Esto quiere decir que las posiciones relativas se han invertido por completo. Ahora el observador se encuentra por detrás de ambos vehículos, con el coche de bomberos más alejado que la ambulancia.

El procedimiento de cálculo es exactamente el mismo que antes, sin más que cambiar los signos de algunas velocidades.

4.1 Frecuencia de batidos

La frecuencia de la señal que llega ahora procedente del coche de bomberos, teniendo en cuenta que la velocidad de la fuente es ahora negativa

f'_B = \frac{340}{340+30}880\,\mathrm{Hz}=809\,\mathrm{Hz}

mientras que la de la ambulancia es

f'_A = \frac{340}{340+20}900\,\mathrm{Hz}=850\,\mathrm{Hz}

La frecuencia de los batidos será ahora

|f'_B-f_A'|=41\,\mathrm{Hz}

4.2 Frecuencias percibidas por los vehículos

4.2.1 Por los bomberos

Para la señal recibida por los bomberos procedente de la ambulancia tenemos que la velocidad de ambos es ahora positiva, ya que el receptor de aleja del emisor, y el emisor se acerca al receptor, por lo que

f'_A=\frac{340-30}{340-20}900\,\mathrm{Hz} = 872\,\mathrm{Hz}

4.2.2 Por la ambulancia

La frecuencia percibida por la ambulancia, proveniente del coche de bomberos se calcula del mismo modo, pero observando que en este caso las velocidades son ambas negativas

f'_B = \frac{340-(-20)}{340-(-30)}880\,\mathrm{Hz} = 856\,\mathrm{Hz}

En ambos casos la frecuencia recibida es menor que la emitida, al estarse alejando la fuente y el receptor.

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