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Efecto Doppler de dos camiones en movimiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos camiones de bomberos acuden desde el este y el oeste a apagar un incendio situado entre ellos. Ambos camiones circulan a 80 km/h y hacen sonar sus sirenas a 600 Hz. Un viento de 50 km/h sopla del este al oeste. ¿Con qué frecuencia escucha las sirenas un observador situado en el punto intermedio? ¿Con qué frecuencia escucha cada conductor la sirena del otro camión?

2 Solución

Cuando la fuente y el receptor se están moviendo, la frecuencia percibida por el receptor es


f_r=f_f\frac{c+v_r}{c-v_f}

donde ff es la frecuencia emitida por la fuente, c es la velocidad de propagación de la perturbación, vr es la velocidad del receptor y vf es la velocidad de la fuente. vr es positiva si el receptor se acerca a la fuente, y negativa en caso contrario. Lo mismo ocurre con vf. Es importante recordar que todas estas velocidades están medidas respecto al medio en reposo. Consideraremos que la velocidad del sonido es c = 343 m/s.

En este problema la dificultad añadida es que el aire, es decir, el medio en el que se propaga la onda, se mueve respecto al suelo. Como las velocidades de los camiones están dadas respecto al suelo, hay que transformarlas para obtener las velocidades de los camiones respecto al aire. Vamos a usar el formalismo del movimiento relativo que estudiamos en el parcial anterior. Tenemos 4 sólidos en el problema, a saber: el suelo y el observador ("1"), el aire ("0"), el camión que viene del oeste ("2") y el que viene del este ("3"). Escogiendo el eje X como se indica en la figura y llamando v = 80 km/h y va = 50 km/h a los valores absolutos de las velocidades de los camiones y del aire, tenemos


\begin{array}{l}
\mathbf{v}_{21}=v\mathbf{i}=80\mathbf{i} \,\mathrm{(km/h)}\\
\mathbf{v}_{31}=-v\mathbf{i}=-80\mathbf{i} \,\mathrm{(km/h)}\\
\mathbf{v}_{01}=-v_a\mathbf{i}=-50\mathbf{i} \,\mathrm{(km/h)}
\end{array}

Veamos ahora cuanto valen cada una de las frecuencias que se preguntan en el enunciado. Como los movimientos son todos unidireccionales vamos a prescindir del vector unitario \mathbf{i}.

2.1 Frecuencia del camión "2"

En este caso, las velocidades de la fuente y el receptor respecto del aire son


\begin{array}{lcl}
v_f=v_{20}=v_{21}+v_{10}=v_{21}-v_{01}=v+v_a=130\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,al\,receptor}\\
v_r=v_{10}=-v_{01}=v_a=50\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,aleja\,de\,la\,fuente}
\end{array}

Teniendo en cuenta los movimientos relativos, la frecuencia que percibe el observador proveniente del camión 2 es


f_2=f\frac{c-v_a}{c-(v+v_a)}=643\,\mathrm{Hz}

2.2 Frecuencia del camión "3"

Ahora, las velocidades de la fuente y el receptor respecto del aire son


\begin{array}{lcl}
v_f=v_{30}=v_{31}+v_{10}=v_{31}-v_{01}=-(v-v_a)=-30\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,al\,receptor}\\
v_r=v_{10}=-v_{01}=v_a=50\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,a\,la\,fuente}
\end{array}

Teniendo en cuenta los movimientos relativos, la frecuencia que percibe el observador proviniente del camión 3 es


f_3=f\frac{c+v_a}{c-(v-v_a)}=640\,\mathrm{Hz}

2.3 Frecuencia percibida por el camión "2"

Aquí podemos usar las velocidades calculadas en los apartados anteriores. La fuente es el camión "3" y el receptor el camión "2"


\begin{array}{lcl}
v_f=v_{30}=-(v-v_a)=-30\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,al\,receptor}\\
v_r=v_{20}=v+v_a=130\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,a\,la\,fuente}
\end{array}

La frecuencia que percibe el camión "2" es


f_{23}=f\frac{c+v+v_a}{c-(v-v_a)}=679\,\mathrm{Hz}


2.4 Frecuencia percibida por el camión "3"

En este caso la fuente es el camión "2" y el receptor el camión "3". Tenemos


\begin{array}{lcl}
v_f=v_{20}=v+v_a=130\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,al\,receptor}\\
v_r=v_{30}=-(v-v_a)=-30\,\mathrm{km/h}&&\mathrm{se\,acerca\,a\,la\,fuente}
\end{array}

La frecuencia que percibe es


f_{32}=f\frac{c+(v-v_a)}{c-(v+v_a)}=686\,\mathrm{Hz}

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