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Ecuación de Van der Waals

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El comportamiento del gas butano se ajusta, dentro de ciertos límites, a la ecuación de estado de Van der Waals

\left(P +\frac{a}{V^2}\right)(V-b)= nRT

siendo en este caso a = 14.5 atm·l² y b = 0.122 l. Calcule el trabajo realizado por un mol de gas butano, considerándolo como un gas de Van der Waals, al expansionarse cuasiestáticamente desde 2 l hasta 3 l a la temperatura constante de t = 27°C. Compare con el resultado que daría la ecuación de los gases ideales.

2 Trabajo

Por tratarse de un proceso cuasiestático, podemos calcular el trabajo realizado sobre el gas mediante la integral

W = -\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V

Despejando la presión de la ecuación de Van der Waals

p = \frac{nRT}{V-b}-\frac{a}{V^2}

y sustituyendo e integrando

W_\mathrm{VdW} = - \int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT}{V-b}-\frac{a}{V^2}\right)\mathrm{d}V = -nRT\ln\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right)+a\left(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\right)

3 Comparación con el gas ideal

La ecuación de Van der Waals se reduce a la de los gases ideales cuando a\to 0 y b\to 0. Este límite lo podemos tomar directamente en la expresión del trabajo y nos queda

W_\mathrm{ideal} = -nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

4 Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado tenemos, para la ecuación de estado de Van der Waals


W_\mathrm{VdW}=-(1\,\mathrm{mol})\left(0.082\,\frac{\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}\right)(300\,\mathrm{K})\ln\left(\frac{3-0.122}{2-0.122}\right)+14.5\,\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}^2\left(\frac{1}{3\,\mathrm{l}}-\frac{1}{2\,\mathrm{l}}\right)=-8.085\,\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}=-820\,\mathrm{J}

Siguiendo el convenio habitual, este es el trabajo realizado sobre el gas. Si queremos el trabajo realizado por el gas, deberemos cambiarle el signo, quedando +820 J, que es positivo, como corresponde a una expansión contra una presión exterior.

El trabajo realizado sobre un gas ideal, para la misma expansión será


W_\mathrm{ideal}=-(1\,\mathrm{mol})\left(0.082\,\frac{\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}\right)(300\,\mathrm{K})\ln\left(\frac{3}{2}\right)=-9.974\,\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}=-1011\,\mathrm{J}

De nuevo, el trabajo realizado por el gas será igual, con el signo cambiado.

El error que cometemos al aproximar este gas de Van der Waals por uno ideal será

\epsilon = \frac{|W_\mathrm{VdW}-W_\mathrm{ideal}|}{|W_\mathrm{VdW}|} = 23.4\%

Vemos que, para estos valores de los parámetros, el error cometido es sustancial, y el modelo de gas ideal será una pobre aproximación.

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