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Dos resortes enfrentados

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo l10 y l20, que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia L. Los muelles poseen constantes de recuperación k1 y k2.

  1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si k_1\to\infty? ¿Y si k_2\to\infty?
  2. Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad v0. Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.
Archivo:dos-resortes-enfrentados.png

2 Posición de equilibrio

La posición de equilibrio es aquella en que la fuerza sobre la masa es nula. Esto ocurrirá cuando la fuerza con la que tira un muelle hacia uno de los lados es igual a la que ejerce el otro muelle hacia el lado opuesto. Si la masa se encuentra a una distancia l1eq de la pared de la izquierda y a l2eq de la de la derecha, la condición de equilibrio es

-k_1(l_{1\mathrm{eq}}-l_{10})+k_2(l_{2\mathrm{eq}} - l_{20}) = 0\,

junto con la condición

l_{1\mathrm{eq}}+l_{2\mathrm{eq}}=L\,

Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

\left\{\begin{array}{ccccl}
-k_1l_{1\mathrm{eq}} & + & k_2l_{2\mathrm{eq}} & = & -k_1l_{10}+k_2l_{20} \\ &&&& \\
l_{1\mathrm{eq}}& + & l_{2\mathrm{eq}} & = & L
\end{array}\right.

con solución

l_{1\mathrm{eq}}=\frac{k_1l_{10}+k_2(L-l_{20})}{k_1+k_2}\qquad\qquad l_{2\mathrm{eq}}=\frac{k_1(L-l_10)+k_2l_{20})}{k_1+k_2}

Cuando k_1\to\infty las longitudes anteriores tienen el límite

l_{1\,\mathrm{eq}}\to l_{10} \qquad l_{2\mathrm{eq}}\to L - l_{10}

que quiere decir que el muelle 1 se convierte en una barra rígida y no se estira en absoluto. Inversamente ocurre si k_2\to\infty.

3 Amplitud y frecuencia

Consideramos entonces las oscilaciones en torno a la posición de equilibrio. Estas vienen gobernadas por la ecuación de movimiento

ma = -k_1(l_1-l_{10})+k_1(l_2-l_{20})\,

junto con las condiciones iniciales

l_{1}=l_{1\mathrm{eq}}\qquad\qquad l_{2}=l_{2\mathrm{eq}}\qquad v=v_0

Si la masa se desvía una cantidad x las nuevas longitudes de los resortes son

l_1=l_{1\mathrm{eq}}+x\qquad\qquad l_2=l_{2\mathrm{eq}}-x

de forma que la ecuación de movimiento queda

ma = -k_1x-k_2x-k_1(l_{1\mathrm{eq}}-l_{10})+k_2(l_{2\mathrm{eq}}-l_{20})\,

Pero las longitudes de equilibrio son tales que se anulan los dos últimos términos y la ecuación se reduce a

ma = -(k_1+k_2)x\,

de donde llegamos a que la masa efectúa oscilaciones armónicas respecto a la posición de equilibrio, con la constante equivalente

k_\mathrm{eq}=k_1+k_2\,

La frecuencia angular de las oscilaciones resultantes vale

\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}

El movimiento en general será de la forma

x = A \cos(\omega t) + B\,\mathrm{sen}(\omega t)\,

Puesto que sabemos que x0 = 0 y la velocidad inicial la dada, queda la solución

x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

de donde la amplitud del movimiento es

A = \frac{v_0}{\omega}=v_0\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}

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