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Dos refrigeradores en serie (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un COPR1 extrae el calor de la sustancia desde la temperatura TF hasta una temperatura intermedia TM. El segundo, que tiene un COPR2 toma el calor desde TM y lo expulsa al ambiente a TC. ¿Cuánto vale el COPR del conjunto? Supongamos el caso particular COPR1 = 4 y COPR2 = 3. Si el segundo refrigerador consume 1 kW de potencia eléctrica, ¿cuánto consume el conjunto? ¿Cuánto calor extrae de la sustancia y cuánto expulsa al ambiente?

2 Solución

El calor que entra en el primer refrigerador es el mismo que entra en el conjunto

Q_\mathrm{in}=Q_\mathrm{1in}\,

Para extraer este calor hace falta un trabajo

\mathrm{COP}_\mathrm{R1}=\frac{Q_\mathrm{1in}}{W_\mathrm{1in}}\qquad\Rightarrow\qquad W_\mathrm{1in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}

El calor de salida de este refrigerador es

Q_\mathrm{1out}=Q_\mathrm{1in}+W_\mathrm{1in}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}

Este calor debe ser desalojado por el segundo refrigerador

Q_\mathrm{2in}=Q_\mathrm{1out}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}\,

lo que requiere un trabajo

W_\mathrm{2in}=\frac{Q_\mathrm{2in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}

El trabajo total necesario para desalojar el calor es

W_\mathrm{in}=W_\mathrm{1in}+W_\mathrm{2in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}= \left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)Q_\mathrm{in}

Puesto que el coeficiente del conjunto cumple

W_\mathrm{in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}

llegamos a la relación

\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}

o, sumando las fracciones y hallando la inversa

\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}+\mathrm{COP}_\mathrm{R2}+1}

El coeficiente de desempeño del conjunto es siempre menor que cualquiera de los que lo componen.

Para el caso particular de COPR1 = 4 y COPR2 = 3 resulta

\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{4\cdot 3}{4+3+1}=1.5

Si el segundo refrigerador consume 1 kW, quiere decir que absorbe un flujo de calor

\dot{Q}_\mathrm{2in}=\mathrm{COP}_\mathrm{R2} \dot{W}_{2in}=3\cdot 1\,\mathrm{kW}=3\,\mathrm{kW}

Este es el calor de desecho del primer refrigerador, suma del calor que este absorbe y del trabajo que realiza

3\,\mathrm{kW}=\mathrm{COP}_\mathrm{R1}\dot{W}_\mathrm{1in}+\dot{W}_\mathrm{1in}=(4+1)\dot{W}_\mathrm{1in}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{W}_\mathrm{1in}=0.6\,\mathrm{kW}

Por tanto, el consumo total es

\dot{W}_\mathrm{1in}+\dot{W}_\mathrm{2in}=0.6\,\mathrm{kW}+1.0\,\mathrm{kW}=1.6\,\mathrm{kW}

El calor que extrae el conjunto vale

\dot{Q}_\mathrm{in}=\mathrm{COP}_\mathrm{R}\dot{W}_\mathrm{in}=\mathrm{COP}_\mathrm{R1}\dot{W}_\mathrm{1in}=2.4\,\mathrm{kW}

y el calor de desecho que produce es la suma de los dos anteriores

\dot{Q}_\mathrm{out}=\dot{Q}_\mathrm{in}+\dot{W}_\mathrm{in}=4.0\,\mathrm{kW}

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