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Dos esferas huecas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de cargas formado por dos superficies esféricas de radio b=4\,\mathrm{cm} cuyos centros distan a=3\,\mathrm{cm}, como indica la figura. Las superficies está cargadas uniformemente con cargas respectivas de +1\,\mathrm{nC} y -1\,\mathrm{nC}

Para los puntos marcados en la figura (en cm)

\vec{r}_A=-2\vec{\imath} \qquad
\vec{r}_B=\vec{\imath}-\vec{\jmath} \qquad
\vec{r}_C=4\vec{\imath}+3\vec{\jmath} \qquad
\vec{r}_D=8\vec{\imath}
  1. Calcule el campo eléctrico.
  2. Calcule el potencial eléctrico.
  3. A partir de la integración de la fuerza, halle el trabajo que debe realizar un agente externo para mover cuasiestáticamente una carga de -1\,\mathrm{nC} desde el punto A al punto D moviéndola a lo largo del eje X.

2 Campo eléctrico

La solución de este problema es una simple aplicación del principio de superposición. Basta con hallar el campo de cada superficie esférica y luego sumar las dos contribuciones.

El campo debido a una superficie esférica de radio acargada uniformemente tiene la expresión

\vec{E}=\begin{cases}\vec{0} & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > a\end{cases}

siendo r las distancia del punto de observación al centro de la esfera y \vec{u}_r el vector unitario radial hacia afuera.

En todos los cálculos aparece el mismo factor

\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0}=9\times 10^9\times 10^{-9}\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}=9\,\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}

Así, tenemos para los cuatro puntos lo siguiente:

Punto A
Este punto está dentro de la esfera de carga positiva y fuera de la negativa. Para esta última la distancia al centro es de 5 cm y el vector unitario radial es -\vec{\imath}. Por tanto
\vec{E}_A=\vec{0}+\frac{9}{(0.05)^2}(-\vec{\imath})\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=+3600\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Punto B
Se encuentra en el interior de las dos esferas, por lo que
\vec{E}_B=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}
Punto C
Éste se halla dentro de la esfera de carga negativa y fuera de la positiva. La distancia al centro de esta es también de 5 cm, pero el unitario radial es ahora el que va en la dirección y sentido del vector 4\vec{\imath}+3\vec{\jmath}
\vec{u}_r=\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}
lo que da el campo
\vec{E}_C=3600\left(\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}+\vec{0}=\left(2880\vec{\imath}+2160\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Punto D
Por último, este punto se encuentra fuera de las dos esferas, a 8 cm del centro de la esfera positiva y 5 de la negativa. El unitario radial es, en los dos casos +\vec{\imath}, lo que nos da
\vec{E}_D=\left(\frac{9}{0.08^2}+\frac{-9}{0.05^2}\right)\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=-2194\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}

3 Potencial eléctrico

El cálculo para el potencial es análogo. Basta con sumar los potenciales debidos a cada esfera.

El potencial debido a una superficie esférica de radio a cargada uniformemente con una carga Q tiene la expresión

V=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a} & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a\end{cases}

siendo el valor numérico del primer caso

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}=\frac{9}{0.04}\mathrm{V}=225\,\mathrm{V}

Esto nos da, para los cuatro puntos, siguiendo el mimso razonamiento que para el campo eléctrico

Punto A
V_A = 225\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=+45\,\mathrm{V}
Punto B
V_B = 225\,\mathrm{V}-225\,\mathrm{V}=0\,\mathrm{V}
Punto C
V_C = \frac{9}{0.05}\mathrm{V}-225\mathrm{V}=-45\,\mathrm{V}
Punto D
V_D = \frac{9}{0.08}\,\mathrm{V}-\frac{9}{0.05}\,\mathrm{V}=-67.5\,\mathrm{V}

Podemos reunir estos resultados en una tabla

Punto \vec{E} (V/m) V (V)
A 3600\vec{\imath} +45
B \vec{0} 0
C 2880\vec{\imath}+2160\vec{\jmath} −45
D -2194\vec{\imath} −67.5

4 Trabajo

El trabajo para mover una carga puede hallarse a partir de la diferencia de potencial

W_{A\to D} = q(V_D-V_A) = (-10^{-9})(-67.5-45)\,\mathrm{J} = 112.5\,\mathrm{nJ}

Sin embargo, aquí se trata de hallarlo a partir de la integración de la fuerza. En un proceso cuasiestático, la fuerza ejercida es opuesta a la eléctrica

\vec{F}_\mathrm{ext}=-q\vec{E}

y el trabajo que queremos calcular será

W=\int_A^D \vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-q\int_A^D\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{r}

siendo

\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\,\vec{\imath}\qquad\qquad x\in(-0.02,0.08)

A la hora de hacer esta integral tenemos cuatro tramos, ya que el campo varía a lo largo del eje de manera discontinua. Si denotamos por x la posición sobre el eje, el campo en los puntos del eje será de la forma

\vec{E}=E(x)\vec{\imath}

donde E(x) será positivo donde el campo vaya hacia la derecha (en el sentido de \vec{\imath}) y negativo donde vaya hacia la izquierda (en el sentido opuesto a \vec{\imath})

El campo de la esfera de carga positiva será, teniendo en cuenta que siempre es radial hacia afuera

\vec{E}_1 = \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}(-\vec{\imath}) & x < -R \\ & \\ \vec{0} & -R < x < R \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}(+\vec{\imath}) & x > R\end{cases} = \begin{cases}-\dfrac{9}{x^2}\vec{\imath} & x < -0.04 \\ & \\ \vec{0} & -0.04 < x < 0.04 \\ & \\ +\dfrac{9}{x^2}\vec{\imath} & x > 0.04\end{cases}
Archivo:campo-eje-esfera-positiva.png

Para la esfera de carga negativa será similar, sin más que desplazar el centro de ésta y cambiar el signo

\vec{E}_2 = \begin{cases}+\dfrac{9}{(x-0.03)^2}\vec{\imath} & x < -0.01 \\ & \\ \vec{0} & -0.01 < x < 0.07 \\ & \\ -\dfrac{9}{(x-0.03)^2}\vec{\imath} & x > 0.07\end{cases}
Archivo:campo-eje-esfera-negativa.png

El campo total es la suma de estos dos

Archivo:campo-eje-suma-esferas.png

La integral va de x=-0.02\,\mathrm{m} a x = +0.08\,\mathrm{m}, por lo que debemos pasar por cuatro tramos.

Del punto A (x=−0.02) hasta la superficie cargada negativamente (x=−0.01)
En este tramo el campo equivale al de una carga puntual situada en el centro de la esfera negativa
\vec{E}=\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}(-\vec{\imath})= \frac{9}{(x-0.03)^2}\vec{\imath}
ya que la distancia al centro de la esfera negativa es r = x − 0.03. El trabajo para recorrer este trozo es entonces
W_1=9\times 10^{-9}\int_{-0.02}^{-0.01} \frac{\mathrm{d}x}{(x-0.03)^2}=9\times 10^{-9} \left.\frac{-1}{x-0.03}\right|_{-0.02}^{0.01} = 45\,\mathrm{nJ}
Desde la superficie negativa (x=-0.01) hasta la positiva (x=0.04)
En estre tramo el campo eléctrico se anula
\vec{E}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad W_2=0
Desde la superficie positiva (x=0.04) hasta la negativa (x=0.07)
El campo es el de una carga puntual situada en el centro de la esfera positiva
\vec{E}=\frac{9}{x^2}\vec{\imath}
siendo el trabajo
W_3= 9\times 10^{-9}\int_{0.04}^{0.07}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}=96.43\,\mathrm{nJ}
Desde la superficie negativa (x=0.07) hasta D (x=0.08)
Aquí el campo es suma del de dos cargas
\vec{E}=9\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x-0.03)^2}\right)\vec{\imath}
siendo el trabajo
W_4 = 9\times 10^{-9}\int_{0.07}^{0.08}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x-0.03)^2}\right)\mathrm{d}x = -28.93\,\mathrm{nJ}

Sumando las cuatro contribuciones

W = 45+  96.43 -28.93 = 112.5\,\mathrm{nJ}

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