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Dos discos en planos ortogonales rodando sin deslizar sobre un plano fijo, F1 GIA (Ene, 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el sistema de la figura, el sólido “0” consiste en dos barras OA y OB de direcciones perpendiculares y rígidamente unidas entre sí, que determinan los respectivos ejes OX0 y OY0 del sistema de referencia ligado a dicho sólido. Las longitudes de los brazos son tales que \overrightarrow{OA}=3\!\ R\!\ \vec{\imath}_0, y \overrightarrow{OB}=4\!\  R\!\ \vec{\jmath}_0. Este sólido “0” se mueve respecto de un sistema de referencia O1X1Y1Z1 (sólido “1”) de manera que, en todo momento, OZ_0\|O_1Z_1 y la posición del punto O es, \overrightarrow{O_1O}=R\!\ \vec{k}_1. Así, la reducción cinemática de dicho movimiento en todo instante de tiempo es:

S_{01}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{01}=\Omega\!\ \vec{k}_{1,0}\mathrm{;}\quad \vec{v}_{01}^O=\vec{0}\bigg\}\mathrm{,}\;\;\forall\, t

siendo Ω un valor constante. Un disco de radio R (sólido “2”), con su centro fijado en el extremo A del sólido “0”, se mantiene siempre en el plano perpendicular al brazo OA, girando en torno a éste. Un segundo disco de igual radio R (sólido “3”), con su centro fijado en el extremo B del brazo OB, se mantiene siempre en el plano perpendicular a dicho brazo, girando en torno al mismo. Además, los discos “2” y “3” ruedan y/o pivotan sin deslizar sobre el plano fijo \, \Pi_1=O_1X_1Y_1\, del sólido “1”, en los respectivos puntos de contacto C y D.

  1. Obtenga las reducciones cinemáticas correspondientes a los movimientos de los discos respecto del plano fijo Π1 (movimientos {21} y {31}). Se sugiere utilizar la posición O como centro de reducción, y el sistema de referencia asociado al sólido “0” para describir los vectores.
  2. Obtenga la reducción cinemática del movimiento del disco “3” respecto del disco “2” (movimiento {32}). Discuta qué tipo de movimiento es y la posición de los puntos con velocidad mínima en dicho movimiento.
  3. Obtenga las derivadas temporales de los vectores de la reducción cinemática del movimiento {32}, \displaystyle
\vec{\alpha}_{32}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}\mathrm{;}\quad
\vec{a}_{32}^O=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{32}^O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}

2 Solución

Preámbulo teórico

Dado un sistema formado por varios cuerpos materiales en movimiento, que pueden ser modelados como sólidos rígidos \tau_1\mathrm{,}\, \tau_2\mathrm{,}\,\ldots\mathrm{,}\,\tau_i\mathrm{,}\,\ldots\mathrm{,}\, el movimiento relativo de τi respecto de τj (movimiento {ij}), queda completamente caracterizado por la reducción cinemática Sij en cada instante de tiempo, que permite determinar todo el campo de velocidades instantáneas a partir del vector rotación instantánea \vec{\omega}_{ij}(t), y la velocidad \vec{v}_{ij}^{O_i}(t)del punto del sólido “i” que ocupa una determinada posición Oi:

S_{ij}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{ij}(t)\mathrm{;}\;\; \vec{v}_{ij}^{O_i}(t)\!\ \bigg\}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{v}_{ij}^{P_i}(t)=\vec{v}_{ij}^{O_i}(t)\ +\ \vec{\omega}_{ij}(t)\times\overrightarrow{O_iP}_i\mathrm{,}\;\;\forall\,P_i\in\tau_i

Esto es válido para cualquier par de sólidos en movimiento relativo, de manera que el movimiento de τj respecto de un tercer sólido τk (movimiento {jk}), estaría caracterizado por la correspondiente reducción Sjk.

La Cinemática del Movimiento Relativo, establece las leyes para la composición de movimientos, de manera que la reducción cinemática Sjk, correspondiente al movimiento instantáneo {ik}, será:

S_{ik}\equiv\ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \vec{\omega}_{ik}(t)=\vec{\omega}_{ij}(t) \ +\ \vec{\omega}_{jk}(t)\\ \\ \displaystyle \vec{v}_{ik}^{P_i}(t)=\vec{v}_{ij}^{P_i}(t) \ +\ \vec{v}_{jk}^{P_i}(t)\end{array}\right.

Conviene recordar que mientras la composición de vectores rotación tiene completa validez en el transcurso del tiempo, la ley de composición de velocidades instantáneas sólo tiene validez en cada instante de tiempo. Esto es clave a la hora de calcular la correspondientes aceleraciones, es decir, las variaciones instantáneas de estos vectores:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle \vec{\alpha}_{\lambda\mu}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{\lambda\mu}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{\mu} \\ \\ \displaystyle \vec{a}_{\lambda\mu}^{P}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{\lambda\mu}^{P}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_\mu\end{array}\right\}\; \Longrightarrow \; \vec{\alpha}_{ik}(t)=\vec{\alpha}_{ij}(t)\ +\ \vec{\alpha}_{jk}(t)\ +\ \vec{\omega}_{jk}(t)\times\vec{\omega}_{ij}(t)\mathrm{,}\;\;\mathrm{pero}\quad \vec{a}_{ik}^{P_i}(t)\neq\vec{a}_{ij}^{P_i}(t)\ +\ \vec{a}_{jk}^{P_i}(t)\ +\ \vec{\omega}_{jk}(t)\times\vec{v}_{ij}^{P_i}

donde se ha aplicado el resultado general para la relación entre la derivadas de una magnitud vectorial \vec{A}(t) en dos sistemas de referencia, τλ y τμ, en movimiento relativo:

\frac{\mathrm{d}\vec{A}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_\mu=\frac{\mathrm{d}\vec{A}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_\lambda+\ \vec{\omega}_{\lambda\mu}(t)\times\vec{A}(t)

La razón estriba en que el vector instantáneo \vec{v}_{jk}^{P_i} mide la velocidad del punto del sólido τj que, en un determinado instante t ocupa la misma posición Pi que el punto del sólido τi, para el cuál se está calculando la velocidad y aceleración instantánea. Nótese que en el instante posterior t + dt, dichos puntos ocuparán posiciones distintas, por lo que no es posible determinar la aceleración \,\vec{a}_{jk}^{P_i} a partir de la variación sufrida por la velocidad \vec{v}_{jk}^{P_i}. La ley de composición de aceleraciones instantáneas la proporciona el teorema de Coriolis:

\vec{a}_{ik}^{P_i}(t)=\vec{a}_{ij}^{P_i}(t)\ +\ \vec{a}_{jk}^{P_i}(t)\ +\ 2\!\ \vec{\omega}_{jk}(t)\times\vec{v}_{ij}^{P_i}(t)

2.1 Reducciones cinemáticas para los movimientos absolutos {21} y {31}

Puesto que concemos la reducción cinemática S01, si encontramos las reducciones cinemáticas S20 y S30, las correspondientes leyes de composición proporcionarán inmediatamente las solicitadas, S21 y S31.

Por otra parte, en el enunciado se recomienda utilizar en ambos casos como centro de reducción, los correspondientes puntos de los sólidos “2” y “3” que ocupan la posición de O; es decir la que coincide en todo instante con el punto del sólido “0” en que se unen las dos varillas ortogonales, y que es un punto fijo en el movimiento {01}; es decir, \vec{v}_{01}^O(t)=\vec{0}\;\;\forall\,t.

2.1.1 Reducción cinemática del movimiento {21}

 

Análisis del movimiento {20}

Para determinar los vectores característicos de esta reducción, resulta útil definir un sistema de referencia cartesiano ligado al disco “2” y analizar cómo se mueve respecto del sistema de referencia OX0Y0Z0 definido en el enunciado, que es solidario con las varillas rígidas. En la figura se sugiere tomar el punto A (centro del disco “2”) como origen del sistema de referencia, y que el disco se encuentre contenido en el plano AX2Y2. Así, el eje AZ2 será perpendicular al disco “2”, y dada la geometría del sistema, colineal en todo instante con el eje OZ0 del sistema de referencia/sólido rígido “0”. En consecuencia,

AX_2\,\|\,OX_0\; \Longrightarrow \;\vec{\imath}_2(t)=\vec{\imath}_0\mathrm{,}\;\;\forall\,t\;\; \Longrightarrow \;\;\vec{\omega}_{20}\times \vec{\imath}_2=\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0} \;\; \Longrightarrow \;\; \vec{\omega}_{20}(t)\,\|\, \vec{\imath}_{0,2}\mathrm{,}\quad\mathrm{en}\;\;\mathrm{general}

Si además tenemos en cuenta que el centro A del disco “2” es un punto fijo en dicho eje OZ0,...

 \displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec{r}_A=3\!\ R\ \vec{\imath}_0\mathrm{,}\;\;\forall\,t\; \Longrightarrow \;\vec{v}_{20}^A(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_A}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}

Por tanto, tenemos una descripción casi completa de la reducción S20... que nos permite determinar la velocidad en el movimiento {20} del punto que ocupa la posición O

S_{20}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{20}(t)=\omega_{20}\ \vec{\imath}_0\mathrm{;}\quad \vec{v}_{20}^A(t)=\vec{0}\bigg\}\;\;\; \Longrightarrow \;\;\; \vec{v}_{20}^O(t)=\vec{v}_{20}^A(t)\ +\ \vec{\omega}_{20}(t)\times\overrightarrow{AO}=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t
Análisis del movimiento {21}

Siguiendo las indicaciones del enunciado, utilicemos la posición O como centro de reducción del movimiento {21}. Aplicando la ley de composición de velocidades instantáneas:

\forall\,t\mathrm{,}\;\;\; \vec{v}_{21}^O(t)=\underbrace{\vec{v}_{20}^O(t)}_{=\vec{0}}\ +\ \underbrace{\vec{v}_{01}^O(t)}_{=\vec{0}}=\vec{0}

Es decir, el punto (virtual) del sólido “2” que ocupa la posición correspondiente al punto O, se encuentra en reposo permanente respecto del plano fijo Π1 = O1X1Y1 (sólido “1”). Y para determinar el vector rotación instantánea del movimiento, \vec{\omega}_{21}, utilizamos el dato de que el disco “2” rueda y/o pivota sin deslizar sobre dicho plano Π1. Por tanto, el punto del disco “2” que ocupa la posición C de contacto con el plano, se halla en reposo instantáneo:

\overrightarrow{OC}=\vec{r}_C=3\!\ R\!\ \vec{\imath}_0(t)\!\ -\!\ R\!\ \vec{k}_{0,1}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{v}_{21}^C=\vec{0}

Por tanto, la dirección del vector \vec{\omega}_{21} en cada instante, debe ser paralelo al segmento orientado que va desde el punto en reposo permanente, O , al punto C en reposo instantáneo:

\vec{v}_{21}^C-\vec{v}_{21}^O=\vec{0}=\vec{\omega}_{21}(t)\times\overrightarrow{OC}\mathrm{,}\;\;\forall\,t\;\; \Longrightarrow \;\;\overrightarrow{OC}\,\|\, \vec{\omega}_{21}(t)=\frac{\omega_{21}(t)}{\sqrt{10}}\ \big[3\!\ \vec{\imath}_0(t)\!\ -\!\ \vec{k}_{0,1}\big]

Y si ahora aplicamos ahora la ley de composición de vectores rotación instantáneas...

\vec{\omega}_{21}(t)=\vec{\omega}_{20}(t)\!\ +\!\ \vec{\omega}_{01}(t)\;\; \Longleftrightarrow \;\;\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\ \omega_{21}(t)=\omega_{20}(t)\\ \\ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{10}}\ \omega_{21}(t)=\Omega \end{array}\right.

... obtenemos el sistema de ecuaciones que nos permite determinar simultáneamente las componentes de los vectores rotación \vec{\omega}_{21} y \vec{\omega}_{20} y las reducciones cinemáticas correspondientes a los movimientos {20} y {21}:

S_{20}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{20}(t)=-3\!\ \Omega\!\ \vec{\imath}_0\mathrm{;}\quad \vec{v}_{20}^A(t)=\vec{0}\bigg\}\mathrm{;}    S_{21}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{21}(t)=\Omega\!\ \big[-3\!\ \vec{\imath}_0(t)\!\ +\!\ \vec{k}_{0,1}\big]\mathrm{;}\quad \vec{v}_{21}^O(t)=\vec{0}\bigg\}

2.1.2 Reducción cinemática del movimiento {31}

Análisis del movimiento {30}

Seguimos el mismo procedimiento que en el caso del movimiento {20} para determinar los vectores característicos de S30. Definimos un sistema de referencia cartesiano BX3Y3Z3 ligado al disco rígido “3”, con origen en el centro de éste y con el eje BY3 perpendicular al disco y, por tanto, colineal con el eje OY0. Análogamente al caso anterior, el centro B es un punto fijo en el eje OY0. Por tanto,...

\begin{array}{l} \displaystyle BY_3\,\|\,OY_0\; \Longrightarrow \;\vec{\jmath}_3(t)=\vec{\jmath}_0\mathrm{,}\;\;\forall\,t\;\; \Longrightarrow \;\;\vec{\omega}_{30}\times \vec{\jmath}_3=\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_3}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0} \;\; \Longrightarrow \;\; \vec{\omega}_{30}(t)\,\|\, \vec{\jmath}_{0,3}\mathrm{,}\quad\mathrm{en}\;\ \mathrm{general}\\ \\ \displaystyle \overrightarrow{OB}=\vec{r}_B=4\!\ R\!\ \vec{\jmath}_0\mathrm{,}\;\;\forall\,t\; \Longrightarrow \;\vec{v}_{30}^B=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t\end{array}

Una reducción cinemática del movimiento {30} y la velocidad del punto que ocupa la posición O en dicho movimiento son...

S_{30}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{30}(t)=\omega_{30}\!\ \vec{\jmath}_0\mathrm{;}\quad \vec{v}_{30}^B(t)=\vec{0}\bigg\}\;\;\; \Longrightarrow \;\;\; \vec{v}_{30}^O(t)=\vec{v}_{30}^B(t)\!\ +\!\ \vec{\omega}_{30}(t)\times\overrightarrow{BO}=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t
Análisis del movimiento {31}

Aplicando la ley de composición de velocidades instantáneas:

\forall\,t\;\; \vec{v}_{31}^O(t)=\underbrace{\vec{v}_{30}^O(t)}_{=\vec{0}}\!\ +\!\ \underbrace{\vec{v}_{01}^O(t)}_{=\vec{0}}=\vec{0}

Al igual que en el caso el movimiento {21}, el punto (virtual) del sólido “3” que ocupa la posición correspondiente al punto O, se encuentra en reposo permanente respecto del plano fijo Π1 = O1X1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, también este disco rueda y/o pivota sin deslizar sobre el plano fijo “1”, por lo que el punto del disco “3” que ocupa la posición D de contacto con el plano, se halla en reposo instantáneo:

\overrightarrow{OD}=\vec{r}_D=4\!\ R\!\ \vec{\imath}_0(t)\!\ -\!\ R\!\ \vec{k}_{0,1}\;\; \Longrightarrow
\;\; \vec{v}_{31}^D=\vec{0}

Por tanto, la dirección del vector \vec{\omega}_{31} en cada instante, debe ser paralelo al segmento orientado que va desde el punto en reposo permanente, O , al punto D en reposo instantáneo:

\vec{v}_{31}^D-\vec{v}_{31}^O=\vec{0}=\vec{\omega}_{31}(t)\times\overrightarrow{OD}\mathrm{,}\;\;\forall\,t\;\; \Longrightarrow \;\;\overrightarrow{OD}\;\|\; \vec{\omega}_{31}(t)=\frac{\omega_{31}(t)}{\sqrt{17}}\ \big[4\!\ \vec{\jmath}_0(t)\!\ -\!\ \vec{k}_{0,1}\big]

Aplicandos ahora la ley de composición de vectores rotación instantáneas...

\vec{\omega}_{31}(t)=\vec{\omega}_{30}(t)\!\ +\!\ \vec{\omega}_{01}(t)\;\; \Longleftrightarrow \;\;\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{4}{\sqrt{17}}\ \omega_{31}(t)=\omega_{30}(t)\\ \\ \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{17}}\ \omega_{31}(t)=\Omega \end{array}\right.

... obtenemos el sistema de ecuaciones que nos permite determinar simultáneamente las componentes de los vectores rotación \vec{\omega}_{21} y \vec{\omega}_{20} y las reducciones cinemáticas correspondientes a los movimientos {20} y {21}:

S_{30}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{30}(t)=-4\!\ \Omega\!\ \vec{\jmath}_0\mathrm{;}\quad \vec{v}_{30}^B(t)=\vec{0}\bigg\}\mathrm{;}    S_{31}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{31}(t)=\Omega\!\ \big[-4\!\ \vec{\jmath}_0(t)\!\ +\!\ \vec{k}_{0,1}\big]\mathrm{;}\quad \vec{v}_{31}^O(t)=\vec{0}\bigg\}


2.1.3 Tipo de movimiento y ejes instantáneos de rotación para los movimientos absolutos de los discos

A la vista de las reducciones cinemáticas S21 y S31, podemos afirmar que los movimientos de los discos respecto de plano fijo Π1 (sólido “1”) son sendas rotaciones instantáneas: en ambos casos, el punto (virtual) de los sólidos “2” y “3” que ocupa la posición O se encuentra en reposo permanente; los correspondientes vectores rotación instantáneas, \vec{\omega}_{21} y \vec{\omega}_{31}, tienen módulo constante, pero sus direcciones cambian respecto del sistema de referencia O1X1Y1Z1 ligado al plano fijo. Por tanto, a los movimientos de cada uno de los discos respecto del plano fijo Π1 les corresponden sendos ejes instantáneos de rotación que, en cada instante, pasan ambos por el punto O, y cada uno de ellos por el punto correspondiente en que el disco rueda/pivota sin deslizar sobre Π1:

\begin{array}{c} \displaystyle  O\in\Delta_{21}^\mathrm{EIR}\; \|\; \overrightarrow{OC}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\Delta_{21}^\mathrm{EIR}:\,\overrightarrow{OP}=\lambda\!\ \left[3\!\ \vec{\imath}_0(t)\ -\ \vec{k}_{0,1}\right]\\ \\ \displaystyle O\in\Delta_{31}^\mathrm{EIR}\; \|\; \overrightarrow{OD}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\Delta_{31}^\mathrm{EIR}:\,\overrightarrow{OP}=\mu\!\ \left[4\!\ \vec{\jmath}_0(t)\ -\ \vec{k}_{0,1}\right]\\ \\ \lambda\mathrm{,}\,\mu\in \mathbb{R} \end{array}


Nótese que los movimientos de los sólidos “2” y “3” se corresponden con el de sendos conos virtuales que tienen sus vértices fijos en el punto O, sus ejes coinciden con las barras OA y OB, respectivamente, y cuyas bases son los respectivos discos (reales) “2” y “3”, cuyos perímetros ruedan sin deslizar sobre el plano Π1.

2.2 Descripción del movimiento {32}

Describimos ahora el movimiento relativo del disco “3” respecto del “2”, obteniendo al correspondiente reducción cinemática {32}. Para ello, basta aplicar las leyes de composición de movimientos a los descritos en el apartado anterior; por ejemplo, los movimientos {21} y {31}:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle  \vec{v}_{31}^O(t)=\vec{v}_{32}^O (t)\ +\ \vec{v}_{21}^O (t)\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{v}_{32}^O(t)=\underbrace{\vec{v}_{31}^O (t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}\ -\ \underbrace{\vec{v}_{21}^O (t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}\\ \\ \displaystyle 
\vec{\omega}_{31}(t)=\vec{\omega}_{32}(t)\ +\ \vec{\omega}_{21}(t)\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{\omega}_{32}(t)=\vec{\omega}_{31}(t)\ -\ \vec{\omega}_{21} (t)
\end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow    S_{32}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{32}(t)=\Omega\!\ \big[3\!\ \vec{\imath}_0(t)\ -\ 4\!\ \vec{\jmath}_0(t)\big]\mathrm{;}\;\;\; \vec{v}_{32}^O(t)=\vec{0}\bigg\}


Es decir, el movimiento {32} se caracteriza porque los vértices de los discos/conos “3” y “2” permanecen en contacto (posición O) y, por tanto, en reposo relativo; el vector rotación instantánea \vec{\omega}_{32} también tiene módulo constante, pero su dirección cambia respecto del sistema de referencia AX2Y2Z2 ligado al sólido “2”. Se trata, por tanto, de una rotación instantánea. El eje instantáneo de rotación de ese movimiento pasa en todo momento por la posición O y su dirección es paralela al vector rotación \vec{\omega}_{32} y, por tanto, paralela al segmento \overrightarrow{AB}:
\begin{array}{c} O\in\Delta_{32}^\mathrm{EIR}\,\|\, \overrightarrow{AB}\; \Longleftrightarrow \; \Delta_{32}^\mathrm{EIR}:\, \overrightarrow{OP}=\nu\!\ \left[3\!\ \vec{\imath}_0(t)\ -\ 4\!\ \vec{\jmath}_0(t)\right]\\ \\ \nu\in\mathbb{R}\end{array}

2.3 Derivadas temporales de la reducción cinemática S32

Estas derivadas podemos determinarlas calculando directamente las derivadas de los vectores de la reducción, pero teniendo en cuenta que están descritos analíticamente en la base del sistema de referencia ligado al sólido “0”; o bien, derivando los vectores de las reducciones S20 y S30 (por ejemplo), y luego aplicar las correspondientes leyes de composición de movimientos relativos.

Sin duda, el primer procedimiento enunciado es el más simple y rápido... y para el caso de la aceleración instantánea del centro de reducción O, el resultado es inmediato: el vértice del cono virtual ligado al sólido “3” permanece fijo en el movimiento {32}, por tanto, su velocidad instantánea es nula en todo instante, y también su aceleración:

\overrightarrow{AO}=\vec{r}_O^{\ \prime}=-3\!\ R\!\ \vec{\imath}_0=-3\!\ R\!\ \vec{\imath}_2\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{v}_{32}^O(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_O^{\ \prime}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_2=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t\;\; \Longrightarrow\vec{a}_{32}^O(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{32}^O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_2=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t

Para obtener la derivada temporal del vector rotación instantánea del movimiento {32}, aplicamos la regla general de derivación en sistema de referencia en movimiento relativo:

\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_2\!\ +\!\ \vec{\omega}_{20}(t)\!\ \times\!\ \vec{\omega}_{32}(t)=\vec{\alpha}_{32}(t)\!\ +\!\ \vec{\omega}_{20}(t)\!\ \times\!\ \vec{\omega}_{32}(t)

... y calculamos el valor de la derivada del vector rotación instantánea:

\left. \begin{array}{l} \displaystyle \vec{\omega}_{32}(t)=\Omega\!\ \left[3\!\ \vec{\imath}_0\!\ -\!\ 4\!\ \vec{\jmath}_0\right]\; \Longrightarrow \; \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\\ \\\displaystyle \vec{\omega}_{20}=-3\!\ \Omega\!\ \vec{\imath}_0\; \Longrightarrow \;\vec{\omega}_{20}\times\vec{\omega}_{32}=12\!\ \Omega^2\!\ \vec{k}_0 \end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow     \vec{\alpha}_{32}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0\!\ -\!\ \vec{\omega}_{20}(t)\!\ \times\!\ \vec{\omega}_{32}(t)=-12\!\ \Omega^2\!\ \vec{k}_0(t)
Archivo:f1_gIA_ex1ac_17_18_p2_5.png

Comprobemos que con el otro procedimientos se obtiene indéntico resultado. Partimos de las reducciones cinemáticas obtenidas para los movimientos relativos {20} y {30} (también podría hacerse con las de {21} y {31}, pero con la opción elegida el cálculo es algo más simple):

S_{20}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{20}=-3\ \vec{\imath}_0\mathrm{;}\;\;\;\; \vec{v}_{20}^O(t)=\vec{0}\bigg\}\;\;\Longrightarrow\;\; \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \vec{\alpha}_{20}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\\ \\ \displaystyle \vec{a}_{20}^O(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{20}^O(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\end{array}\right.


S_{30}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{20}=-4\ \vec{\jmath}_0\mathrm{;}\;\;\;\; \vec{v}_{30}(t)^O=\vec{0}\bigg\}\;\;\Longrightarrow\;\; \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \vec{\alpha}_{30}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{30}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\\ \\ \displaystyle \vec{a}_{30}^O(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{30}^O(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\end{array}\right.

Aplicando las leyes de composición de las magnitudes cinemáticas en el caso de movimiento relativo de sólidos rígidos, tendríamos...

\underbrace{\vec{\alpha}_{30}(t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}=\vec{\alpha}_{32}(t)\!\ +\!\ \underbrace{\vec{\alpha}_{20}(t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}\!\ +\!\ \vec{\omega}_{20}(t)\times\vec{\omega}_{32}(t)\;\;\Longleftrightarrow    \vec{\alpha}_{32}(t)=\vec{\omega}_{32}(t)\times\vec{\omega}_{20}(t)=-12\!\ \Omega^2\!\ \vec{k}_0(t)

... para la derivada del vector rotación instantánea; y para la aceleración del centro de reducción...

\underbrace{\vec{a}_{30}^O(t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}=\vec{a}_{32}^O(t)\!\ +\!\ \underbrace{\vec{a}_{20}^O(t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}\!\ +\!\ 2\!\ \vec{\omega}_{20}(t)\times\underbrace{\vec{v}_{32}^O(t)}_{=\vec{0}\mathrm{,}\,\forall\,t}\;\;\Longleftrightarrow    \vec{a}_{32}(t)=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t

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