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Dos discos articulados en un eje

De Laplace

1 Enunciado

Dos discos delgados, ambos de masa m y radio r, están conectados por un eje delgado de masa m0 y longitud b. Los discos pueden rodar sin deslizar por el plano OXY. El eje está articulado en dos rodamientos, de forma que las dos ruedas pueden girar libremente en torno a él.

  1. Determine la energía cinética del sistema en función de la velocidad del CM del conjunto y de la velocidad angular \dot{θ} con la que gira la barra en torno a un eje vertical.
  2. Suponga que, estando en reposo el sistema con el eje alineado con el OX y el punto de contacto de uno de los discos situado en el origen se aplica una percusión \vec{P} horizontal y perpendicular a la barra a una distancia c de su centro. Determine el movimiento del sistema a partir de ese momento

2 Resultados

Cantidad de movimiento
\vec{p}=(m_0+2m)v_G\vec{\jmath}_0

Siendo la base \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\} una ligada al eje, con el OX0 a lo largo de él, y el OZ0 perpendicular al plano de movimiento.

vG se relaciona con las coordenadas como

v_G=-\dot{x}\,\mathrm{sen}(\theta)+\dot{y}\cos(\theta)
Momento cinético respecto al CM
\vec{L}_G=(-mrv_G)\vec{\imath}_0+\left(\frac{m_0b^2}{12}+\frac{m(b^2+r^2)}{2}\right)\dot{\theta}\vec{k}_0
Energía cinética
T=\frac{1}{2}(m_0+3m)v_G^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{m_0b^2}{12}+\frac{m(3b^2+2r^2)}{4}\right)\dot{\theta}^2
Velocidad del CM tras la percusión
\vec{v}^G_{01}=v_G\vec{\jmath}_0=\frac{P}{m_0+3m}\vec{\jmath}_0
Velocidad angular del eje tras la percusión
\dot{\theta}=\frac{12 c P}{m_0 b^2+ m(9 b^2+6r^2)}

Tras la percusión, ambas cantidades permanecen constantes.

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