Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Distancias a una recta y un plano (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la distancia d1 que separa al punto P(1.00,2.50,2.08) (m) del plano que pasa por el punto A(0.31,0.10,0.00) (m) y es perpendicular al vector \vec{n}=12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k}. Halle la distancia d2 del mismo punto P a la recta que pasa por A y lleva la dirección de \vec{n}. ¿Se cumple que d_1^2+d_2^2=\left|\overrightarrow{AP}\right|^2?

2 Distancia al plano

En lo que sigue, todas las distancias están en metros.

La distancia de un punto a un plano que pasa por A y es perpendicular a \vec{n} la da la fórmula

d_1=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}

En este caso tenemos

\overrightarrow{AP}=(1.00-0.31)\vec{\imath}+(2.50-0.10)\vec{\jmath}+(2.08-0.00)\vec{k}=0.69\vec{\imath}+2.40\vec{\jmath}+2.08\vec{k}

y

\vec{n}=12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k}\qquad \qquad |\vec{n}|=\sqrt{12^2+20^2+9^2}=25

lo que nos da la distancia

d_1=\frac{12\cdot 0.69+20\cdot 2.40+9\cdot 2.08}{25}=\frac{75}{25}=3

3 Distancia a la recta

La distancia del mismo punto a la recta que pasa por A y lleva la dirección de \vec{n} la da la fórmula

d_2=\frac{|\overrightarrow\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}

En este caso

\overrightarrow{AP}\times \vec{n}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\
0.69&2.40&2.08\\12&20&9\end{matrix}\right|=-20\vec{\imath}+18.75\vec{\jmath}-15\vec{k}

siendo el módulo

|\overrightarrow{AP}\times\vec{n}|=\sqrt{20^2+18.75^2+15^2}=31.25

y la distancia

d_2=\frac{31.25}{25}=1.25

4 Suma de cuadrados

La distancia AP cumple

d=|\overrightarrow{AP}|=3.25

Por otro lado se tiene

d_1^2+d_2^2=3^2+1.25^2 = 10.5625 = 3.25^2 = d^2

La razón de que aquí se cumple el teorema de Pitágoras es fácil de ver. Por un lado se tiene que

d_1= \frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}= \frac{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|\cos(\alpha)}{|\vec{n}|}=|\overrightarrow{AP}|\cos(\alpha)

u, por otro,

d_2= \frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}= \frac{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|\,\mathrm{sen}(\alpha)}{|\vec{n}|}=|\overrightarrow{AP}|\,\mathrm{sen}(\alpha)

Por tanto

d_1^2+d_2^2= |\overrightarrow{AP}|^2(\cos^2(\alpha)+\mathrm{sen}^2(\alpha))=|\overrightarrow{AP}|^2 = d^2

Las distancias a la recta y al plano son los dos catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el lado AP.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 22:59, 13 oct 2021. - Esta página ha sido visitada 93 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace