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Disco y varilla con movimiento conico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

(Final, Diciembre 2009, P1)

A un disco de radio R y espesor despreciable se le acopla en su centro una barra perpendicular a él (sólido "2") de longitud L. El disco gira de modo que el extremo de esta barra permanece fijo en el punto O1, como se indica en la figura, y rueda sin deslizar sobre el plano OX1Y1. El eje X0 (sólido "0") se elige de modo que acompaña al disco en su giro. La velocidad angular es \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_1 con Ω constante.

  1. Aplicando las leyes de composición de movimientos, calcula la velocidad angular \vec{\omega}_{20} y la aceleración angular \vec{\alpha}_{20}.
  2. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como las ecuaciones vectoriales de los respectivos ejes de rotación y mínimo deslizamiento.
  3. Calcula \vec{v}^B_{21} y \vec{a}^A_{21} en el instante indicado en la figura.
  4. Calcula numéricamente los vectores de los apartados 1 y 3 si se tiene L=4 cm, R=3 cm, ω=5 s-1.

2 Solución

Vamos a analizar los movimientos {01} y {21}, y a partir de su composición obtendremos las magnitudes del movimiento {20}.

2.1 Movimiento {01}

Esta es una rotación pura, con eje de giro permanente que coincide con la línea OZ_0\equiv OZ_1. La velocidad angular es la dada en el enunciado y es constante en el tiempo. Podemos reducir en el punto O, que al estar siempre en el eje tiene velocidad nula siempre. La reducción cinemática de este movimiento es


\begin{array}{ccc}
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad&\vec{v}^O_{01}=\vec{0}
\end{array}

La ecuación vectorial del eje de rotación es


\Delta_{01} \equiv \overrightarrow{OI}_{01}=\lambda\,\vec{k}_1

Podemos también calcular las aceleraciones angular y lineal en el punto O


\vec{\alpha}_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}
\qquad\qquad
\vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}^O_{01}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}

2.2 Movimiento {21}

El enunciado nos dice que el disco rueda sin deslizar, por tanto \vec{v}^A_{21}=\vec{0} . Por otro lado el punto O pertenece tanto a la varilla (sólido "2") como al eje OX1 (sólido "1"). Entonces también tenemos \vec{v}^{O}_{21}=\vec{0} . Como la velocidad es nula en los puntos O y A, el eje de rotación Δ21 debe pasar por esos puntos. Entonces la velocidad angular \vec{\omega}_{21} es de la forma


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\imath}_0

Necesitamos la velocidad en otro punto para poder determinar ω21. Para ello nos fijamos en el puntp C. Este punto pertenece a la vez al sólido "2" (el disco) y al sólido "0" (el plano OX0Z0. Esto quiere decir que \vec{v}^C_{20}=\vec{0} . Utilizando la descomposición {21}={20}+{01} tenemos


\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{01}=\vec{v}^C_{01}

Pero esta velocidad la podemos calcular a partir de la reducción del movimiento {01}. Tenemos


\vec{v}^C_{01} = \vec{v}^O_{01} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01}
=\overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{01}

Para obtener el vector \overrightarrow{OC} observamos la figura de la derecha. Tenemos


\overrightarrow{OC} = L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0

y para el ángulo α se tiene


\mathrm{sen}\alpha = \frac{R}{\sqrt{L^2+R^2}}\qquad\qquad
\cos\alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}

Es decir


\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{01}=(L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\Omega\,\vec{k}_0)=
L\,\Omega\,\cos\alpha\,\vec{\jmath}_0

Ahora podemos calcular ω21 utilizando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionar las velocidades en los puntos O y C


\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OC}\times\vec{\omega}_{21}=
 (L\,\cos(\alpha)\,\vec{\imath}_0 +
L\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\vec{k}_0)\times(\omega_{21}\,\vec{\imath}_0)
=
\omega_{21}\,L\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}_0

Comparando esta expresión con la que hemos obtenido antes para \vec{v}^C_{21} obtenemos


\omega_{21} = -\frac{\Omega}{\tan{\alpha}}=-\Omega\frac{L}{R}

La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto O es


\vec{\omega}_{21} = -\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0
\qquad\qquad
\vec{v}^O_{21} = \vec{0}

La ecuación vectorial del eje instantáneo de rotación Δ21 es


\Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OI}_{21} = \mu\,\vec{\imath}_0

Para calcular la aceleración angular hay que utilizar la ecuación de Poisson que relaciona la derivada temporal en el triedro "0" con la derivada en en el triedro "1"


\vec{\alpha}_{21} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}=
\omega_{21}\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_{0}}{\mathrm{d}t}=
\omega_{21}\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0 =
\omega_{21}\omega_{01}\,\vec{k}_0\times\vec{\imath}_0 = 
-\Omega^2\frac{L}{R}\,\vec{\jmath}_0

Y teniendo en cuenta que el punto O pertenece en todo instante tanto al sólido "2" como al "1", se tiene


\vec{a}^O_{21}=\vec{0}

2.3 Movimiento {20}

Para caracterizar este movimiento utilizamos la composición

{21} = {20} + {01}

Tenemos


\begin{array}{l}
\displaystyle\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Rightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = 
-\Omega\frac{L}{R}\,\vec{\imath}_0 - \Omega\,\vec{k}_0
\\ \\
\displaystyle\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\Rightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01}
-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0}
\end{array}

Calculamos la velocidad y aceleración en el punto O usando la misma composición


\begin{array}{l}
\vec{v}^O_{21} = \vec{v}^O_{20} + \vec{v}^O_{01} 
\Rightarrow
\vec{v}^O_{20} = \vec{v}^O_{21} - \vec{v}^O_{01} =  \vec{0}
\\ \\
\vec{a}^O_{21} = \vec{a}^O_{20} + \vec{a}^O_{01} +
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20}
\Rightarrow
\vec{a}^O_{20} = \vec{a}^O_{21} - \vec{a}^O_{01} -
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^O_{20} =  \vec{0}
\end{array}

El punto O pertenece al eje instantáneo de rotación Δ20. Su ecuación vectorial es


\Delta_{20} \equiv \overrightarrow{OI}_{20} = \nu\,\vec{\omega}_{20}

2.4 Cálculo de vB21

Calculamos \vec{v}^B_{21} a partir de la reducción del movimiento {21} en el punto O. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de este movimiento tenemos


\vec{v}^B_{21} = \vec{v}^O_{21} + \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21}
=\overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21}

El vector \overrightarrow{OB} se puede expresar como


\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}

De la figura tenemos


\left.
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = \sqrt{L^2+R^2}\,\vec{\imath}_0
\\ \\
\overrightarrow{AB} = 2R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}_0 +
2R\cos\alpha\,\vec{k}_0
\end{array}
\right|
\Rightarrow
\overrightarrow{OB} = (2R\,\mathrm{sen}\,\alpha +
\sqrt{L^2+R^2})\,\vec{\imath}_0 + 2R\cos\alpha\,\vec{k}_0

La velocidad buscada es


\vec{v}^B_{21} = \overrightarrow{OB}\times\vec{\omega}_{21} = 
\frac{2\,\Omega\,L^2}{\sqrt{L^2+R^2}}\,\vec{\jmath}_0

2.5 Cálculo de aA21

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Partiendo del punto O tenemos


\begin{array}{rcl}
\vec{a}^A_{21} & = & \vec{a}^O_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA}
+ \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA})
\\ && \\
&& \vec{a}^O_{21} = \vec{0}
\\ && \\
&& \displaystyle\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA} =
\frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0
\\ && \\
&& \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}) = \vec{0}
\end{array}

Por tanto


\vec{a}^A_{21} = \frac{\Omega^2L\sqrt{L^2+R^2}}{R}\,\vec{k}_0

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