Enunciado

El sólido rígido "0" del mecanismo de la figura corresponde a un vástago de longitud que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo , permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo (sólido "1"). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de con velocidad angular constante de módulo y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo se desplaza sobre el eje vertical en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta . El extremo del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio (sólido "2"), siempre contenido en el plano vertical ; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a que pasa por , en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante de módulo . Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido "0"- - para expresar las magnitudes vectoriales, determina:

  1. El vector rotación instantánea y su derivada temporal (vector aceleración angular), correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
  2. Las velocidades del punto del perímetro del disco en el instante en el que aquél ocupa el punto más alto del diámetro vertical(ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: , y .
  3. Las aceleraciones , y para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

Solución

Los datos cinemáticos que nos da el problema son la velocidad del punto en su movimiento a lo largo del eje y las velocidades angulares de los movimientos {20} y {01}. Siguiendo los ejes de la figura estos datos son

Vamos a caracterizar los movimientos {01} y {20}. Para ello utilizaremos primordialmente la base vectorial asociada al sólido "0".

Movimiento {01}

La velocidad angular es constante en el tiempo, por lo cual

Uno de los datos cinemáticos es la velocidad del punto moviéndose con el sólido "0". Esta velocidad también es constante, por lo que

Por último, vemos que es paralela a , por lo cual el punto está en el eje instantáneo de rotación. El movimiento es helicoidal tangente y su reducción y aceleraciones son

Vamos a calcular la velocidad y aceleración del punto como miembro del sólido "0" usando las ecuaciones de los campos de velocidad y aceleración del sólido

Donde hemos usado que .

Movimiento {20}

Según el enunciado la velocidad angular es constante en el tiempo, por lo que

Este movimiento es una rotación pura, por lo que todos los puntos del eje de rotación tienen velocidad y aceleración nulas. El punto pertenece al eje de rotación, por lo que podemos reducir el movimiento en . El resultado es

La velocidad y aceleración de moviéndose con el sólido "2" respecto al "0" son

Hemos utilizado que .

Movimiento {21}

Podemos ahora reducir este movimiento como composición de los otros dos, {21}={20}+{01}. Para las magnitudes angulares tenemos

Las reducciones de los movimientos {20} y {01} están hechas en puntos distintos. Pero en ambos casos hemos calculado la velocidad y la aceleración en el punto , así que podemos usar éste para la el cálculo de y a partir de las reglas de composición