El sólido rígido "0" del mecanismo de la figura corresponde a un vástago de longitud que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo , permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo (sólido "1"). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de con velocidad angular constante de módulo y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo se desplaza sobre el eje vertical en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta . El extremo del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio (sólido "2"), siempre contenido en el plano vertical ; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a que pasa por , en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante de módulo . Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido "0"- - para expresar las magnitudes vectoriales, determina:
El vector rotación instantánea y su derivada temporal (vector aceleración angular), correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
Las velocidades del punto del perímetro del disco en el instante en el que aquél ocupa el punto más alto del diámetro vertical(ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: , y .
Las aceleraciones , y para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.
Solución
Los datos cinemáticos que nos da el problema son la velocidad del
punto en su
movimiento a lo largo del eje y las velocidades angulares de
los movimientos {20} y {01}. Siguiendo los ejes de la figura estos
datos son
Vamos a caracterizar los movimientos {01} y {20}. Para ello
utilizaremos primordialmente la base vectorial asociada al sólido "0".
Movimiento {01}
La velocidad angular es constante en el tiempo, por lo cual
Uno de los datos cinemáticos es la velocidad del punto moviéndose
con el sólido "0". Esta velocidad también es constante, por lo que
Por último, vemos que es paralela a , por lo
cual el punto está en el eje instantáneo de rotación. El
movimiento es helicoidal tangente y su reducción y aceleraciones son
Vamos a calcular la velocidad y aceleración del punto como miembro
del sólido "0" usando las ecuaciones de los campos de velocidad y
aceleración del sólido
Donde hemos usado que .
Movimiento {20}
Según el enunciado la velocidad angular es constante en el
tiempo, por lo que
Este movimiento es una rotación pura, por lo que todos los puntos del
eje de rotación tienen velocidad y aceleración nulas. El punto
pertenece al eje de rotación, por lo que podemos reducir el movimiento
en . El resultado es
La velocidad y aceleración de moviéndose con el sólido "2"
respecto al "0" son
Hemos utilizado que .
Movimiento {21}
Podemos ahora reducir este movimiento como composición de los otros
dos, {21}={20}+{01}. Para las magnitudes angulares tenemos
Las reducciones de los movimientos {20} y {01} están hechas en
puntos distintos. Pero en ambos casos hemos calculado la velocidad y
la aceleración en el punto , así que podemos usar éste para la
el cálculo de y a partir de las reglas de
composición