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Disco y vástago (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sólido rígido "0" del mecanismo de la figura corresponde a un vástago OC de longitud 3R que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo O1Z1 (sólido "1"). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de O1Z1 con velocidad angular constante de módulo |\vec{\omega}_{01}|=2\omega y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo O se desplaza sobre el eje vertical O1Z1 en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta |\vec{v}_{01}^O|=v. El extremo C del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio R (sólido "2"), siempre contenido en el plano vertical OX0Z0; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a OY0 que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante de módulo |\vec{\omega}_{20}|=\omega. Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido "0"- OX0Y0Z0 - para expresar las magnitudes vectoriales, determina:

  1. El vector rotación instantánea \vec{\omega}_{21} y su derivada temporal \vec{\alpha}_{21} (vector aceleración angular), correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
  2. Las velocidades del punto A del perímetro del disco en el instante en el que aquél ocupa el punto más alto del diámetro vertical(ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: \vec{v}_{01}^A, \vec{v}_{20}^A y \vec{v}_{21}^A.
  3. Las aceleraciones \vec{a}_{01}^A, \vec{a}_{20}^A y \vec{a}_{21}^A para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

2 Solución

Los datos cinemáticos que nos da el problema son la velocidad del punto O en su movimiento a lo largo del eje O1Z1 y las velocidades angulares de los movimientos {20} y {01}. Siguiendo los ejes de la figura estos datos son


  \vec{v}_{01}^O =
  v\,\vec{k}_0=v\,\vec{k}_1,\qquad\vec{\omega}_{01}=2\,\omega\,\vec{k}_0=2\,\omega\,\vec{k}_1,\qquad\vec{\omega}_{20}=-\omega\,\vec{\jmath}_0

Vamos a caracterizar los movimientos {01} y {20}. Para ello utilizaremos primordialmente la base vectorial asociada al sólido "0".

2.1 Movimiento {01}

La velocidad angular es constante en el tiempo, por lo cual


  \vec{\omega}_{01}=2\,\omega\,\vec{k}_1=2\,\omega\,\vec{k}_0,\qquad
  \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =\vec{0}

Uno de los datos cinemáticos es la velocidad del punto O moviéndose con el sólido "0". Esta velocidad también es constante, por lo que


  \vec{v}_{01}^O=v\vec{k}_1=v\vec{k}_0,\qquad
  \vec{a}_{01}^O=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1 =\vec{0}

Por último, vemos que \vec{v}_{01}^O es paralela a \vec{\omega}_{01}, por lo cual el punto O está en el eje instantáneo de rotación. El movimiento es helicoidal tangente y su reducción y aceleraciones son


  \begin{array}{lcl}
  \vec{\omega}_{01}=2\,\omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O}=v\,\vec{k}_0\\ &&\\
  \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}
    \\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EIRMD}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1
    \end{array}

Vamos a calcular la velocidad y aceleración del punto A como miembro del sólido "0" usando las ecuaciones de los campos de velocidad y aceleración del sólido


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{01}^A = \vec{v}_{01}^O+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\vec{v}_{01}^O+
    \left|
      \begin{array}{ccc}
        \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\ 0&0&2\omega\\3R&0&R
      \end{array}
    \right|=v\,\vec{k}_0+
  6\,\omega\,R\,\vec{\jmath}_0 \\ \\
  \vec{a}_{01}^A=\vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=
  -12\,R\omega^2\vec{\imath}_0 
  \end{array}

Donde hemos usado que \overrightarrow{OA}=3\,R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0.

2.2 Movimiento {20}

Según el enunciado la velocidad angular \vec{\omega}_{20} es constante en el tiempo, por lo que


  \vec{\omega}_{20}=-\omega\,\vec{\jmath}_0,\qquad
  \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 =\vec{0}

Este movimiento es una rotación pura, por lo que todos los puntos del eje de rotación tienen velocidad y aceleración nulas. El punto C pertenece al eje de rotación, por lo que podemos reducir el movimiento en C. El resultado es


  \begin{array}{lcl}
  \vec{\omega}_{20}=-\omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}\\ &&\\
  \vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0}
    \\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0
    \end{array}

La velocidad y aceleración de A moviéndose con el sólido "2" respecto al "0" son


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{20}^A = \vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=
    \left|
      \begin{array}{ccc}
        \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\ 0&-\omega&0\\0&0&R
      \end{array}
    \right|=-R\omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\
  \vec{a}_{20}^A=\vec{a}_{20}^C+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CA}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA})= -R\omega^2\vec{k}_0
  \end{array}

Hemos utilizado que \overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0.

2.3 Movimiento {21}

Podemos ahora reducir este movimiento como composición de los otros dos, {21}={20}+{01}. Para las magnitudes angulares tenemos


  \begin{array}{l}
    \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=-\omega\,\vec{\jmath}_0+2\omega\,\vec{k}_0\\ \\
    \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=2\omega^2\,\vec{\imath}_0
  \end{array}

Las reducciones de los movimientos {20} y {01} están hechas en puntos distintos. Pero en ambos casos hemos calculado la velocidad y la aceleración en el punto A, así que podemos usar éste para la el cálculo de \vec{v}_{21}^A y \vec{a}_{21}^A a partir de las reglas de composición


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{21}^A = \vec{v}_{20}^A + \vec{v}_{01}^A
    =-R\omega\,\vec{\imath}_0+6R\omega\,\vec{\jmath}_0+v\,\vec{k}_0 \\ \\
    \vec{a}_{21}^A=\vec{a}_{20}^A+\vec{a}_{01}^A+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^A=-12R\omega^2\,\vec{\imath}_0-4R\omega^2\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0 
  \end{array}

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