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Disco en varilla horizontal (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal z = 0 (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje OX0 es a lo largo de la barra horizontal y OZ0 = OZ1 en todo momento. Sea θ(t) el ángulo que el eje OX0 forma con el OX1. En un instante dado \theta=0\,, \dot{\theta}=\Omega, \ddot{\theta}=\alpha.

Para ese instante:

  1. Determine los vectores \vec{\omega}_{01}, \vec{\omega}_{20} y \vec{\omega}_{21}.
  2. Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
  3. Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
  4. Halle las aceleraciones angulares \vec{\alpha}_{01}, \vec{\alpha}_{20} y \vec{\alpha}_{21}.
  5. Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos A, G y D del apartado (3).

2 Velocidades angulares

En este problema tenemos tres sistemas de referencia, los dos sólidos y el sistema intermedio.

Lo primero que observamos es que el punto O es fijo en los tres movimientos: En el {01} porque pertenece al eje de rotación OZ1. En el {20} porque pertenece al eje OX0, de rotación en este movimiento, y en el {21} por composición de velocidades

\vec{v}^O_{21}=\vec{v}^O_{20}+\vec{v}^O_{01}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}

Puesto que el punto O es fijo en los tres, podemos emplearlo como origen de coordenadas común.

El sistema “1” es el fijo, con ejes OX1 y OY1 horizontales y OZ1 vertical.

El sistema “0” tiene su eje OX0 siempre alineado con la varilla, siendo OZ0 vertical y coincidente con OZ1. En el movimiento {01} este sistema gira en torno a OZ1 = OZ0 por lo que las bases respectivas cumplen

\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_0&=&\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\\
\vec{\imath}_0&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\
\vec{k}_0&=&\vec{k}_1\end{array}

La velocidad angular del movimiento {01} es una rotación en torno a su eje común

\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}_1=\dot{\theta}\vec{k}_0

El sistema 2 es uno ligado al disco y cuyo eje OX2 coincide con el OX0. El disco gira alrededor de este eje. Por tanto, la relación entre las correspondientes bases es

\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_0\\
\vec{\jmath}_2&=&\cos(\psi)\vec{\jmath}_0+\mathrm{sen}(\psi)\vec{k}_0\\
\vec{k}_2&=&-\mathrm{sen}(\psi)\vec{\jmath}_0+\cos\vec{k}_0\\
\end{array}

siendo la velocidad angular

\vec{\omega}_{20}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0=\dot{\psi}\vec{\imath}_2

Aquí ψ es el ángulo que va girando el disco sobre su eje. No es una variable independiente de θ ya que debe cumplirse la condición de rodadura sin deslizamiento.

La velocidad angular del movimiento {21} es la composición de las otras dos

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0

Obtenemos la relación entre las dos componentes imponiendo la condición de que la velocidad en el punto A, de contacto entre el disco y el plano, es nula en el movimiento {21}

\vec{0}=\vec{v}^A_{21}=\overbrace{\vec{v}^O_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{OA}

Desarrollando el producto vectorial

\vec{0}=\left(\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0\right)\times\left(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0\right)=\left(R\dot{\psi}+h\dot{\theta}\right)\vec{\jmath}_0

por lo que debe ser

\dot{\psi}=-\frac{h}{R}\dot{\theta}\qquad\Rightarrow\qquad \psi=-\frac{h}{R}\theta

y por tanto, si llamamos \Omega=\dot{\theta}

\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\frac{\Omega\left(-h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0\right)}{R}

3 Ejes instantáneos de rotación

Lo localización de los tres EIR es sencilla:

Movimiento {01}
El eje es el OZ1 = OZ0
Movimiento {20}
El eje es el OX2 = OX0
Movimiento {21}
Es el que pasa por O y lleva la dirección de \vec{\omega}_{21} o, lo que es equivalente, el que pasa por O y A, al ser ambos puntos de velocidad nula en el movimiento {01}.

4 Velocidades lineales

4.1 Del punto A

En el movimiento {21}, la velocidad del punto A es nula según hemos dicho.

\vec{v}^A_{21}=\vec{0}

En el movimiento {20} el punto A describe un movimiento circular en torno al eje del disco, que pasa por el origen O.

\vec{v}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0

También se puede hallar esta velocidad a partir de la del movimiento {01} ya que por ser nula la del {21}

\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}+\vec{v}^A_{10}=\vec{0}-\vec{v}^A_{01}=-\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0

4.2 Del punto G

En el movimiento {20} G está en reposo por pertenecer al eje de rotación

\vec{v}^G_{20}=\vec{0}

En el {21} y en el {01} realiza un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por A.

\vec{v}^G_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}=(\Omega \vec{k}_0)\times (h\vec{\imath}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0

Vemos que en este movimiento A y G tienen la misma velocidad por estar a la misma distancia del eje. De aquí

\vec{v}^G_{21}=\vec{v}^G_{01}=-\Omega h\vec{\jmath}_0

4.3 Del punto D

Operando igualmente, tenemos en el movimiento {01}

\vec{v}^D_{01}=\Omega h\vec{\jmath}_0

En el {20}

\vec{v}^D_{20}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times (h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\Omega h\vec{\jmath}_0

y por tanto

\vec{v}^D_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{v}^D_{21}=2\Omega h\vec{\jmath}_0

5 Aceleraciones angulares

El movimiento {01} es una rotación con eje fijo, siendo su aceleración angular

\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\theta}\vec{k}_0=\alpha\vec{k}_0

Análogamente ocurre para el {20}

\vec{\alpha}_{20}=\ddot{\psi}\vec{\imath}_0=-\frac{h}{R}\alpha\vec{\imath}_0

Para el {21} empleamos la composición de aceleraciones angulares

\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\frac{h}{R}\alpha\vec{\imath}_0+\alpha\vec{k}_0+\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)=-\frac{h}{R}\alpha\vec{\imath}_0+\frac{h}{R}\Omega^2\vec{\jmath}_0+\alpha\vec{k}_0

6 Aceleraciones lineales

6.1 En el movimiento {01}

En el movimiento {01} todos los puntos describen un moviento circular acelerado alrededor del eje OZ1. Puesto que los tres puntos A, G y D, se hallan a la misma distancia del eje, la aceleración en este movimiento es igual para todos ellos

\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^G_{01}=\vec{a}^D_{01}=\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG})

Puesto que este movimiento es plano, podemos simplificar la expresión

\vec{a}^G_{01}=\alpha\vec{k}_0\times(h\vec{\imath}_0)-\Omega^2(h\vec{\imath}_0)=-\Omega^2h\vec{\imath}_0+\alpha h\vec{\jmath}_0

6.2 En el movimiento {20}

Este movimiento es de rotación en torno al eje OX0, el cual pasa por G. Por tanto

\vec{a}^G_{20}=\vec{0}

Para el punto A, situado en el mismo plano director que G

\vec{a}^A_{20}=\vec{a}^G_{20}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{GA}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{GA})

lo que nos da

\vec{a}^A_{20}=\left(-\frac{h\alpha}{R}\vec{\imath}_0\right)\times(-R\vec{k}_0)-\left(\frac{h\Omega}{R}\right)^2(-R\vec{k}_0)=-h\alpha\vec{\jmath}_0+\frac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0

Para el punto D el cálculo es similar, invirtiendo el vector de posición relativa

\vec{a}^A_{20}=\left(-\frac{h\alpha}{R}\vec{\imath}_0\right)\times(+R\vec{k}_0)-\left(\frac{h\Omega}{R}\right)^2(+R\vec{k}_0)=h\alpha\vec{\jmath}_0-\frac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0

6.3 En el movimiento {21}

Aquí podemos calcularlas directamente con la fórmula análoga

\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^O_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP})

o bien con el teorema de Coriolis

\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}

Si empleamos el teorema de Coriolis, para el punto G resulta

\vec{a}^G_{21}=\overbrace{\vec{a}^G_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^G_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\overbrace{\vec{v}^G_{20}}^{=\vec{0}}=\vec{a}^G_{01}=-\Omega^2h\vec{\imath}_0+\alpha h\vec{\jmath}_0

Para el punto A

\begin{array}{rcl}\vec{a}^A_{21}&=&\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}=\\
&=& \left(-h\alpha\vec{\jmath}_0+\dfrac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0\right)+
\left(-\Omega^2h\vec{\imath}_0+\alpha h\vec{\jmath}_0\right)+2\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times(-\Omega h\vec{\jmath}_0)=\\
&=&h\Omega^2\vec{\imath}_0+\dfrac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0\end{array}

Para el D

\begin{array}{rcl}\vec{a}^D_{21}&=&\vec{a}^D_{20}+\vec{a}^D_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^D_{20}=\\
&=& \left(h\alpha\vec{\jmath}_0-\dfrac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0\right)+
\left(-\Omega^2h\vec{\imath}_0+\alpha h\vec{\jmath}_0\right)+2\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times(\Omega h\vec{\jmath}_0)=\\
&=&-3h\Omega^2\vec{\imath}_0+2h\alpha\vec{\jmath}_0-\dfrac{h^2\Omega^2}{R}\vec{k}_0\end{array}

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