Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Disco contenido en un plano que rota (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un plano vertical Π ( sólido "0"), gira alrededor del eje vertical fijo O1Z1 con su eje O1X0 siempre contenido en el plano horizontal fijo O1X1Y1 ( sólido "1"), estando caracterizado dicho movimiento por el vector rotación \vec{\omega}_{01}(t)=2\,A\,t\vec{k}_0. Un disco de centro O y radio R (sólido "2"), contenido en todo instante en el plano Π, rueda sin deslizar sobre el eje horizontal O1X0, siendo la velocidad relativa de su centro \vec{v}_{20}^O(t)=v_0\vec{\imath}_0 (con v0 constante). Si en el instante inicial (t = 0), el centro O se encontraba en el eje O1Z1, determina:

  1. Los vectores velocidad angular \vec{\omega}_{21}(t) y aceleración angular \vec{\alpha}_{21}(t) en un instante cualquiera.
  2. Los vectores aceleración \vec{a}_{21}^C(t_0) en un instante t = t0 en el que el punto C del disco se halla en contacto con el plano horizontal O1X1Y1.
  3. El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento del movimiento {21} en el citado instante t = t0.

2 Solución

Los datos cinemáticos proporcionados por el problema son la velocidad angular del sólido "0" respecto al "1" y la velocidad del punto O perteneciente al sólido "2" moviéndose respecto al sólido "0". Expresados en los ejes propuestos en la figura son


  \vec{\omega}_{01}=2At\vec{k}_0=2At\vec{k}_1,\qquad\vec{v}_{20}^O=v_0\vec{\imath}_0

2.1 Movimiento {01}

Este movimiento es de rotación permanente del plano Π alrededor del eje O1Z1 con velocidad angular dependiente del tiempo. Tenemos


  \vec{\omega}_{01}=2At\,\vec{k}_1,\qquad\qquad
  \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=2A\,\vec{k}_1=2A\,\vec{k}_0

Al ser una rotación de eje permanente, cualquier punto del eje tiene velocidad y aceleración nulas. Si escogemos el origen del sistema O1, la reducción del movimiento y las aceleraciones son, expresadas en la base del sólido "0"


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=2At\,\vec{k}_0&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
    \vec{\alpha}_{01}=2A\,\vec{k}_0 &\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
    \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_1\equiv O_1Z_0
  \end{array}

Calculamos la velocidad \vec{v}_{01}^C en el instante t = t0 en que está tocando el eje OX0. Dado que en t = 0 el centro del disco O estaba en el eje O1Z1, y la velocidad de traslación del centro del disco sobre el eje OX0 es constante e igual a v0, en el instante t0 la distancia entre los puntos O1 y C es v0t0, por lo que se tiene


  \overrightarrow{O_1C}=v_0t_0\,\vec{\imath}_0

Utilizando las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del movimiento {01} obtenemos


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{01}^C =
    \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}=2Av_0t_0^2\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{a}_{01}^C =
    \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C})=2Av_0t_0\,\vec{\jmath}_0
    - 4A^2v_0t_0^3\,\vec{\imath}_0
  \end{array}

2.2 Movimiento {20}

Dado que el disco rueda sin deslizar, la velocidad \vec{v}_{20}^C=\vec{0}. Es decir, el eje instantáneo de este movimiento pasa por el punto C. Por otro lado, el eje de giro es perpendicular al plano Π, es decir, se tiene \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0. Para determinar ω20 usamos el dato de la velocidad del punto C en el movimiento {20}. Tenemos


  \vec{v}_{20}^O=v_0\,\vec{\imath}_0=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=
  (\omega_{20}\,\vec{\jmath}_{0})\times(R\,\vec{k}_0)=\omega_{20}R\,\vec{\imath}_0\Rightarrow
  \omega_{20}=\dfrac{v_0}{R}

Por otro lado, la aceleración del punto O es


  \vec{a}_{20}^O = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{20}^O}{\mathrm{d}t}\right|_0=\dfrac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_0=\vec{0}

Esta derivada puede hacerse suponiendo que \vec{\imath}_0 es constante, pues la expresión de \vec{v}_{20}^O en la base vectorial del sólido "0" es válida para todo t. Usando el mismo argumento para derivar \vec{\omega}_{20} podemos caracterizar completamente el movimiento


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{20}=\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0&\qquad&\vec{v}_{20}^O=v_0\,\vec{\imath}_0\\
    && \\
    \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}&\qquad&\vec{a}_{20}^O=\vec{0}\\ && \\
    \Delta_{EIR}\equiv CY_0
  \end{array}

La velocidad y aceleración en el punto C son


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{20}^C=\vec{0}\\
    \vec{a}_{20}^C =
    \vec{a}_{20}^O+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OC})
    = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0
  \end{array}

2.3 Movimiento {21}

Usando las reglas de composición de movimientos obtenemos


  \begin{array}{l}
  \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0+2At_0\vec{k}_0\\
  \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=
  2A\,\vec{k}_0-\dfrac{2Av_0t_0}{R}\,\vec{\imath}_0
  \end{array}

Para la velocidad y aceleración, tenemos


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{21}^C=\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{01}^C=2Av_0t_0^2\,\vec{\jmath}_0\\ \\
    \vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{20}^C+\vec{a}_{01}^C+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C=
    \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0+2Av_0t_0\,\vec{\jmath}_0- 4A^2v_0t_0^3\,\vec{\imath}_0
  \end{array}

EL vector de posición de un punto del eje instantáneo del movimiento {21} puede calcularse respecto al punto C


  \overrightarrow{CI^*} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^C}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=
  -\dfrac{4A^2R^2v_0t_0^3}{4A^2R^2t_0^2+v_0^2}\,\vec{\imath}_0

Tomando como referencia el origen de coordenadas, la ecuación paramétrica del eje es


  \Delta_{\mathrm{EIRMD}}\quad\equiv \quad\overrightarrow{O_1I} = \overrightarrow{O_1C} + \overrightarrow{CI^*}
  +\lambda\,\vec{\omega}_{21}

La velocidad mínima es


  v_{21}^{\mathrm{min}} = \dfrac{\vec{v}_{21}^C\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|}=
  \dfrac{2Av_0^2t_0^2}{\sqrt{4A^2R^2t_0^2+v_0^2}}

Por tanto, el movimiento es helicoidal tangente. La figura muestra aproximadamente las magnitudes cinemáticas más relevantes.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 10:15, 20 dic 2016. - Esta página ha sido visitada 2.796 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace