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Disco contenido en plano rotante, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano OX0Z0 (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje OX0; además, su centro C se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje OZ0 con velocidad constante v0. El plano Π0 se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo Π1, pero girando en sentido antihorario alrededor del eje OZ0 = OZ1, con velocidad angular constante de valor Ω. Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición D de contacto con el plano Π1, en el instante en que el centro C se encuentra a una distancia d del eje OZ0,1. ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?

2 Solución

3 Información cinemática del enunciado

El disco rueda sin deslizar sobre el eje OX0, por tanto


\vec{v}^{\,D}_{20} = \vec{0}

El centro del disco se mueve con velocidad


\vec{v}^{\,C}_{20} = -v_0\,\vec{\imath}_0

Además, este punto tiene siempre la misma velocidad en el movimiento {20}, porque es el centro del disco. Entonces


\vec{a}^{\,C}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}

El movimiento {20} es una rotación instantánea, con el eje perpendicular al plano del disco, por tanto


\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{\jmath}_0

Usamos el teorema de Chasles para calcular ω20


\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{20} = -v_0\,\vec{\imath}_0
\\
\\
\vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DC}
=
(\omega_{20}\,\vec{\jmath})\times(R\,\vec{k}) =
\omega_{20}R\,\vec{\imath}_0
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0

El plano realiza una rotación de eje permanente OZ0, con velocidad angular constante. La velocidad del movimiento {01} de cualquier punto del eje es nula en todo instante. Por tanto


\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0\qquad \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0},
\qquad \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O_1}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}

3.1 Resolución con composición de movimientos

Usando el teorema de Coriolis podemos calcular \vec{a}^{\,D}_{21} como


\vec{a}^{\,D}_{21} = \vec{a}^{\,D}_{20} + \vec{a}^{\,D}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,D}_{20}

Examinemos cada uno de los tres términos


\vec{a}^{\,D}_{20} = \vec{a}^{\,C}_{20} + \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CD} + 
\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD})

El primer sumando es cero. El segundo también, pues


\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}

Sólo queda el tercero, y tenemos


\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD})
=
\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0

Entonces


\vec{a}^{\,D}_{20} = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0

Para el segundo sumando tenemos


\vec{a}^{\,D}_{01} = \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D})

El primer sumando es nulo. El segundo también, pues


\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}

Para el tercer término tenemos


\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D})
=
\vec{\omega}_{01}\times\left( (\Omega\,\vec{k}_0)\times(d\,\vec{\imath}_0)\right)
=
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(\Omega d\,\vec{\jmath}_0) = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0

Por último, el tercer sumando es cero, pues \vec{v}^{\,D}_{20}=\vec{0} . Tenemos entonces


\vec{a}^{\,D}_{21} = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0 + \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}

Para obtener las componentes intrínsecas de la aceleración necesitamos \vec{v}^{\,D}_{21} . Aplicamos composición de movimientos


\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{v}^{\,D}_{01} = \vec{v}^{\,D}_{01}
=
\vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} = \Omega d\,\vec{\jmath}_0

La aceleración tangencial es


a^{D}_{21T} = \dfrac{\vec{a}^{\,D}_{21}\cdot\vec{v}^{\,D}_{21}}{|\vec{v}^{\,D}_{21}|} = 0

La aceleración normal es


a^{D}_{21N} = \sqrt{|\vec{a}^{\,D}_{21}| - a^D_{21T}} = |\vec{a}^{\,D}_{21}| = 
\sqrt{\Omega^2d^4 + \dfrac{v_0^4}{R^2}}

3.2 Errores comunes detectados en la corrección

3.2.1 Aceleración del origen

Mucha gente a dicho que la velocidad y la aceleración del punto O1 son cero en todos los movimientos porque, como todo el mundo sabe, el origen no se mueve nunca. Esto no es correcto. El el punto geométrico O1 hay 3 puntos, uno por cada sólido. Los del sólido "0" y "1" no se mueven, pero el del sólido "2" sí lo hace. Es decir


\vec{v}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0}

y también


\vec{v}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0}

3.2.2 Derivar una velocidad

Las velocidades que se obtienen con la composición de movimientos son instantáneas, no se pueden derivar. No se puede calcular \vec{a}^{\,D}_{21} derivando \vec{v}^{\,D}_{21} .

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