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Disco cayendo Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R cae en dirección vertical rodando sin deslizar sobre una cuerda vertical. El módulo de la velocidad del centro del disco es |\vec{v}|(t) = A\,t, siendo A una constante. Calcula

  1. Velocidad angular del movimiento {21}.
  2. La velocidad \vec{v}_{21}^B.
  3. La acelaración \vec{a}_{21}^B.

2 Solución

2.1 Velocidad angular

El vector rotación angular es perpendicular al plano del dibujo. Por tanto


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{\jmath}_1

Como el disco rueda sin deslizar sobre el hilo en el punto A tenemos


\vec{v}_{21}^A = \vec{0}

Además, siguiendo el enunciado la velocidad del punto C es


\vec{v}\,^C_{21} = -A\,t\,\vec{k}_1

Usando la ecuación del campo de velocidades


\begin{array}{rl}
\vec{v}\,^C_{21} &= \vec{v}_{21}^A + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
\\&\\
&\vec{v}_{21}^A = \vec{0}
\\&\\
&\overrightarrow{AC} = R\,\vec{\imath}_1
\\&\\
&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1)\times(R\,\vec{\imath}_1)
=-\omega_{21}R\,\vec{k}_1
\end{array}

Comparando con la expresión anterior de \vec{v}\,^C_{21} tenemos


\vec{\omega}_{21} = \dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1

2.2 Velocidad del punto B

Utilizamos de nuevo la ecuación del campo de velocidades


\begin{array}{rl}
\vec{v}\,^B_{21} &= \vec{v}_{21}^C + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}
\\&\\
&\vec{v}_{21}^C = -A\,t\,\vec{k}_1
\\&\\
&\overrightarrow{CB} = R\,\vec{k}_1
\\&\\
&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} = \left(\dfrac{A\,t}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1)
= A\,t\,\vec{\imath}_1
\end{array}

El resultado final es


\vec{v}\,^B_{21} = A\,t\,\vec{\imath}_1 -A\,t\,\vec{k}_1

2.3 Aceleración del punto B

La velocidad del punto C obtenida en el apartado anterior es válida para todo instante de tiempo. Entonces


\vec{a}\,^B_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}\,^B_{21}}{\,\mathrm{d}t}\right|_1
=
-A\,\vec{k}_1

Obtenemos la aceleración angular derivando la velocidad angular


\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
\dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1

Podemos calcular la aceleración del punto B usando la ecuación del campo de aceleraciones


\begin{array}{rl}
\vec{a}\,^B_{21} &= \vec{a}_{21}^C + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB})
\\&\\
&\vec{a}_{21}^C = -A\,\vec{k}_1
\\&\\
&\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB} =\left(\dfrac{A}{R}\,\vec{\jmath}_1\right)\times(R\,\vec{k}_1) = A\,\vec{\imath}_1
\\&\\
&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB)} = 
 -\dfrac{A^2\,t^2}{R}\,\vec{k}_1
\end{array}

La aceleración pedida es


\vec{a}\,^B_{21} = A\,\vec{\imath}_1 - \left( A + \dfrac{A^2\,t^2}{R}\right)\,\vec{k}_1

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