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Dimensiones de constantes en una ecuación

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se mueve según la ley

x = A\left(\mathrm{e}^{Bt}-C\right)

¿Cuáles son las dimensiones de A, B y C? ¿Cuáles son sus unidades en el SI?

2 Solución

En la exponencial, e es un número, por tando adimensional. Cuando una cantidad adimensional se eleva a una cierta potencia, el resultado sigue siendo adimensional. Puesto que la constante C está sumada a esta cantidad adimensional, concluimos que C tampoco tiene dimensiones. por atnto

[C] = 1

Asimismo, el exponente de e también debe ser adimensional. Ya que un número se puede elevar a otro, pero nunca a una cantidad con dimensiones ("3 elevado a 2 metros" no significa nada). Por tanto

[Bt] = 1\qquad\Rightarrow\qquad [B]T = 1\qquad\Rightarrow\qquad [B]=\frac{1}{T}

Es decir, B tiene dimensiones de la inversa de un tiempo, es una frecuencia. En el sistema internacional se medirá en s−1 o Hz.

Por último, la expresión completa debe tener las imensiones de x, es decir, ser una longitud. Por ello

[x] = [A][C]\qquad \Rightarrow\qquad L = [A]\cdot 1\qquad\Rightarrow\qquad [A]=L

La constante A tiene dimensiones de longitud y en el Si se medirá en metros.

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