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Dilatación de un líquido en un recipiente

De Laplace

1 Enunciado

Un líquido con un coeficiente de dilatación volumétrica β llena por completo una estructura esférica de volumen V0 a una temperatura T0. El material del que está hecho la esfera tiene un coeficiente medio de dilatación lineal α. El líquido se puede expandir ocupando el tubo capilar de sección A unido a la parte superior de la esfera. Si se produce una aumento de temperatura ΔT, encuentre la expresión que da la altura Δh que sube el líquido en el capilar.

2 Solución

Al aumentar la temperatura en ΔT el nuevo volumen del líquido es


V_l = V_0\,(1+\beta\,\Delta T)

El recipiente también se dilata. El coeficiente medio de dilatación cúbica es 3\,\alpha . Por tanto el nuevo volumen es


V_v = V_0 \,(1+3\,\alpha\,\Delta T)

El exceso de volumen del líquido es el que ocupa el capilar. Si la sección del capilar es A0 la altura que sube el líquido es


\Delta h = \dfrac{V_v-V_l}{A_0} = \dfrac{V_0\,\Delta T}{A_0}(\beta-3\,\alpha)

En general el coeficiente medio de dilatación cúbica de los líquidos es mayor que el de los sólidos. Suponiendo que el líquido es mercurio y el recipiente está hecho de vidrio tenemos


\beta = 1.82\times10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}}
\qquad\qquad
3\alpha= 27\times10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}

Por tanto β − 3α > 0 y el líquido sube por el capilar

2.1 Corrección teniendo en cuenta el aumento de la sección

Al aumentar la temperatura, la sección del capilar también aumenta. Como es una superficie, el coeficiente relevante es el coeficiente medio de dilatación superficial, que es igual a , siendo α el coeficiente de dilatación lineal. La sección es


A = A_0\,(1+2\,\alpha\Delta T)

Entonces la altura que sube el líquido es


\Delta h = \dfrac{V_v-V_l}{A} = \dfrac{V_0\,\Delta T}{A_0\,(1+2\,\alpha\Delta T)}(\beta-3\,\alpha)

Ahora bien, si tenemos en cuenta que \alpha\Delta T\ll1 podemos usar el desarrollo de Taylor de (1+\varepsilon)^n cuando \varepsilon\ll1 y obtenemos


\Delta h \simeq \dfrac{V_0\,\Delta T}{A_0}(\beta-3\,\alpha)
\,
\left(1- 2\,\alpha\Delta T \right)

Al despreciar el segundo término del último paréntesis obtenemos la expresión anterior. Para una variación de temperatura \Delta T=100\,\mathrm{^oC} el error relativo que se comete sería


2\alpha\,\Delta T = 0.001 = 0.00001\,%

Como vemos, es muy pequeño, por lo que la expresión que obtuvimos en el apartado anterior es completamente válida.

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