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Diferencial de una función

De Laplace

Contenido

1 Concepto

En la definición de derivada direccional (y en la derivada ordinaria) aparece el límite de un cociente de incrementos

\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{\Delta\phi}{|\Delta\mathbf{r}|}

que se puede escribir como el cociente de dos cantidades infinitesimales:

 \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{\Delta\phi}{|\Delta\mathbf{r}|}=\frac{\mathrm{d}\phi}{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}

El denominador, |\mathrm{d}\mathbf{r}| es una distancia infinitesimal, modulo de vector desplazamiento diferencial.

El numerador, \mathrm{d}\phi\, es el diferencial de la función \phi\,, definido como el incremento infinitesimal entre dos puntos vecinos:

\mathrm{d}\phi = \phi\left(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}\right)-\phi\left(\mathbf{r}\right)

de esta forma, la derivada direccional se interpreta como un cociente entre dos diferenciales, esto es, dos cantidades todo lo pequeñas que queramos.

2 Diferencial ≠ derivada

Aunque aparecen en contextos relacionados, hay que tener cuidado de no confundir la diferencial de una función con la derivada de una función. Las diferencias son claras:

  • La diferencial es una cantidad infinitesimal. En un contexto físico macroscópico, donde las distancias se miden en metros, podemos considerar que una distancia es diferencial en la práctica si es de 1μm, por ejemplo. Un intervalo de tiempo diferencial puede ser de 1μs, si hablamos de tiempos del orden de 1 segundo.
  • La derivada es una cantidad finita, resultado del cociente de dos diferenciales. Por ejemplo, si una partícula recorre 1 μm en 1 μs su velocidad (la derivada) es de 1 m/s, que no es para nada infinitesimal.
  • Una derivada es siempre respecto a algo, es tan importante indicar qué se deriva como con respecto a qué. Una diferencial, en cambio, es un incremento de una sola función.
  • Una diferencial tiene dimensiones (unidades) de la cantidad de la que se calcula; una derivada tiene las dimensiones de la cantidad derivada divididas por las de la variable respecto a la que se deriva.

3 Propiedades de los diferenciales

A la hora de calcular la diferencial de una combinación de funciones, las reglas son similares a las de las derivadas.

3.1 Diferencial de una suma

Para una función, \Phi\,, suma de otras dos

Φ = ψ + ψ

la diferencial de esta suma es la suma de diferenciales

dΦ = dψ + dψ

La demostración es inmediata:

\mathrm{d}\Phi = \Phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r})=
\left(\phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})+\psi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})\right) -\left(\phi(\mathbf{r})+\psi(\mathbf{r})\right)=
=\left(\phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\phi(\mathbf{r})+\right) +\left(\psi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\psi(\mathbf{r})\right)=
\mathrm{d}\psi + \mathrm{d}\psi

3.2 Diferencial de un producto

Para una función \Phi\,, producto de otras dos

\Phi = \phi\psi\,

la diferencial del producto es la diferencial de la primera, por la segunda, más la primera por la diferencial de la segunda

\mathrm{d}\Phi =\left(\mathrm{d}\phi\right)\psi+\phi\left(\mathrm{d}\psi\right)

3.3 Regla de la cadena

Si tenemos una función \phi\, que depende de la posición a través de otra función u, como por ejemplo, la función

\phi = k\sqrt{y^2+z^2} + \frac{A}{y^2+z^2}

que se puede escribir como

\phi = ku + \frac{A}{u^2}    u = \sqrt{y^2+z^2}

la diferencial de \phi\, es proporcional a la diferencial de u, estando la proporcionalidad dada por la derivada

\mathrm{d}\phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}u}\,\mathrm{d}u

(esto puede interpretarse como que multiplicamos y dividimos por el diferencial de u). En el ejemplo anterior

\mathrm{d}\phi = \left(k-\frac{2A}{u^3}\right)\,\mathrm{d}u

Ahora bien, ¿cuánto vale du como función de x, y y z? Para ello necesitamos relacionar la diferencial con el gradiente y con las derivadas parciales

4 Diferencial y gradiente

5 Diferencial y derivadas parciales

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