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Determinación del material de un cable conductor (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un conductor filiforme, de un material desconocido, tiene una sección uniforme de área S= 2\,\mathrm{mm}^2=2\times
10^{-2}\,\mathrm{cm}^2. Para determinar el tipo de material, se hace que por el hilo conductor circule una corriente estacionaria de intensidad I_0=2\,\mathrm{A} y, con la ayuda de un voltímetro, se determinan dos puntos A y B en el hilo tales que la diferencia de potencial entre ellos sea V_A-V_B=3\,\mathrm{mV}. Se determina que la longitud del hilo comprendida entre dichos puntos es L_{AB}=11,4\,\mathrm{cm}.

  1. Calcule la conductividad del hilo e indique de qué material está fabricado.
  2. Haga una estimación de los valores de la intensidad del campo eléctrico (E=|\vec{E}|), y de la densidad volumétrica (J=|\vec{J}|), en el interior del cable.

2 Solución

Planteamiento

Como sabemos, un conductor filiforme (o cable) es un medio óhmico, caracterizado por una conductividad eléctrica \sigma_{{}_\Omega}, cuya geometría puede ser identificada con una curva \Gamma_{{}_\Omega} en el espacio. Para ello, la sección S del cable debe ser suficientemente pequeña frente a otras dimensiones del medio. Asumiendo que éste se encuentra inmerso en una región dieléctrica (vacío, aire,...) se tendrá que, cuando es sometido a un campo eléctrico \vec{E}(\vec{r}) (por ejemplo, estableciendo entre sus extremos se establece una diferencia de potencial al conectarlos a sendos electrodos de un generador eléctrico), la densidad volumétrica de corriente \,\vec{J}(\vec{r})=\sigma_{{}_\Omega}\,\vec{E}(\vec{r})\, que caracteriza el movimiento de cargas eléctricas en el cable es un campo vectorial cuyas líneas de campo están confinadas en la región filiforme \Gamma_{{}_\Omega}; en el límite S\rightarrow 0, puede considerarse que el medio óhmico filiforme coincide con una línea del campo \,\vec{J}(\vec{r})\,.

Si se consideran dos puntos A y B del conductor filiforme, que prácticamente coincidirán con sendas secciones equipotenciales SA y SB del mismo, el segmento de cable comprendido entre dicho puntos constituye un tubo de corriente. Por definición, la resistencia eléctrica de dicho segmento de conductor es la relación existente entre la diferencia de potencial entre dichos puntos, y la intensidad de la corriente eléctrica estacionaria que recorre el conductor:

R_{{}_{AB}}=\frac{V_A- V_B}{I}\,\mathrm{,}\,\;\;\,\mathrm{siendo}\;\;\;\,\left\{\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=\int_A^B\! \vec{E}(\vec{r})\cdot\!\ \mathrm{d}\vec{r}\\ \\ \displaystyle I=\int_{S(P)}\! \vec{J}(\vec{r})\cdot\!\ \mathrm{d}\vec{S}\end{array}\right.

donde S(P) representa el área de la sección del hilo en un determinado punto P del mismo. Obsérvese que, al tratarse de una corriente estacionaria, la intensidad I de la misma ha de ser idéntica en todos los puntos del conductor. La geometría filiforme de éste nos permite asegurar que, en cada punto del mismo...

P\in\Gamma_\Omega\;\Longrightarrow\;\vec{J}(P)= J(P)\ \vec{T}(P)\mathrm{,}\,\,\mathrm{siendo}\,\;\;\;\vec{T}(P)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}l}\bigg\rfloor_{P\in\Gamma_\Omega}\!\!=\frac{\mathrm{d}\vec{S}}{\mathrm{d}S}\bigg\rfloor_{P\in\Gamma_\Omega}\;\;\,\mathrm{y}\,\;\; J(P)=|\vec{J}(P)|

Es decir, en cada punto del conductor filiforme, la densidad volumétrica de corriente tiene la dirección del vector unitario tangente a la curva ΓΩ en dicho punto. Y ésta va a ser también la dirección de normal a las secciones equipotenciales existentes en el cable al establecerse la corriente eléctrica.

Realizando la circulación del campo eléctrico por el interior del conductor filiforme y teniendo en cuenta que la sección de éste es lo suficientemente pequeña como para poder considerar que la densidad de corriente se distribuye uniformemente...

\left.\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=\int_{A\ (\Gamma_\Omega}^B\! \frac{\vec{J}(\vec{r})}{\sigma_{\Omega}(P)}\cdot\!\ \mathrm{d}\vec{r}=\int_A^B\!\!\frac{J(P)}{\sigma_{\Omega}(P)} \ \mathrm{d}l \\ \\ \displaystyle I=\int_{S(P)}\! \vec{J}(\vec{r})\cdot\!\ \mathrm{d}\vec{S}\approx J(P)\!\ S(P)\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\; V_A-V_B\approx \ I\int_A^B\!\!\frac{\mathrm{d}l}{\sigma_{\Omega}(P)\ S(P)}

donde se ha considerado que, en principio, la conductividad del material y/o la sección del cable podría cambiar a lo largo del mismo y por eso aparecen como sendas funciones del punto O. Aplicando la definición de resistencia eléctrica, se obtiene la expresión general de esta magnitud física entre dos puntos de un condutor filiforme.

R_{{}_{AB}}=\frac{V_A- V_B}{I}\approx\int_A^B\!\!\frac{\mathrm{d}l}{\sigma_{\Omega}(P)\ S(P)}

En el caso de que la conductividad tenga indéntico valor σΩ en todos los puntos (medio homogéneo) y que la sección del cable sea una constante de valor S...

R_{{}_{AB}}\approx\frac{1}{\sigma_{\Omega}\ S}\ \int_A^B\!\!\mathrm{d}l=\frac{L_{{}_{AB}}}{\sigma_{\Omega}\ S}=\rho_{\Omega}\ \frac{L_{{}_{AB}}}{S}

donde LAB es la longitud del cable comprendida entre los puntos A y B, y ρΩ es la resistividad eléctrica del material, definida como la inversa de la conductividad eléctrica.

2.1 Conductividad del hilo

A partir de los datos proporcionados en el enunciado y el preámbulo anterior, podemos determinar cuánto vale la resistividad de hilo conductor y, por tanto, el tipo de material que lo compone.

Cuando por el hilo circula una intensidad de corriente estacionaria I_0=2\,\mathrm{A}, se registra una diferencia de potencial de 3\,\mathrm{mV} entre dos puntos A y B del cable, separados una distancia L_{AB}\cong 11,4\,\mathrm{cm}. La resistencia eléctrica del trozo de conductor comprendido entre dichos puntos es:

R_{{}_{AB}}=\frac{V_A-V_B}{I_0}=\frac{3\,\mathrm{mV}}{2\,\mathrm{A}}=1,5\times 10^{-3}\,\Omega

Teniendo en cuenta que la sección del cable tiene un valor constante S= 2\,\mathrm{mm}^2 y que el medio es homogeneo y, por tanto, σΩ es constante, se tendrá:

\sigma_\Omega\approx \frac{S}{R_{{}_{AB}}\ L_{{}_{AB}}}=\frac{11,4\times 10^{-2}\,\mathrm{m}}{(1,5\times 10^{-3}\,\Omega)\ (2\times 10^{-6}\,\mathrm{m}^2)}=3,8\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}

donde \,\mathrm{S}/\mathrm{m} (siemens/metro) es la unidad de medida de la conductividad en el Sistema Internacional de Unidades. Consultando en las tablas de propiedades físicas de los materiales conductores, se cumprueba que la obtenida es un valor muy próximo al estándar para la conductividad eléctrica del aluminio.

2.2 Intensidades del campo eléctrico y de la densidad volumétrica de corriente

Al tratarse de un conductor que consideramos con sección constante S, se cumplirá:

\displaystyle I_0=\int_{S}\! \vec{J}(\vec{r})\cdot\!\ \mathrm{d}\vec{S}\approx |\vec{J}(P)|\!\ S\;\;\Longrightarrow    |\vec{J}(P)|\approx\frac{I_0}{S}=10^6\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^2\mathrm{,}\,\;\;\forall\,P\in\Gamma_{{}_\Omega}

Obsérvese que, en virtud de la versión local de la ley de Ohm, el campo eléctrico en cualquier punto del hilo conductor será:

\vec{E}(P)=\frac{\vec{J}(P)}{\sigma_\Omega}=\frac{|\vec{J}(P)|}{\sigma_\Omega}\ \vec{T}(P)\;\;\Longrightarrow    |\vec{E}(P)|=\frac{|\vec{J}(P)|}{\sigma_\Omega}\ \approx 0,026\,\mathrm{V}/\mathrm{m}\mathrm{,}\,\;\;\forall\,P\in\Gamma_{{}_\Omega}

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