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Despolarización de una esfera

De Laplace

1 Enunciado

Una esfera de radio a se despolariza según la ley

\mathbf{P}(\mathrm{r},t)= \frac{k \mathbf{r}}{1+(t/T)^2}

tomando el origen de coordenadas en el centro de la esfera.

Determine las densidades de carga de polarización, así como la densidad de corriente de polarización. ¿Se verifica la ley de conservación de la carga para ρp y σp?

2 Solución

Las densidades de carga de polarización pueden ser de volumen o de superficie. En el primer caso

 \rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} = -\frac{k}{1+(t/T)^2}\nabla{\cdot}\mathbf{r} = -\frac{3k}{1+(t/T)^2}

en el interior de la esfera (r < a), mientras que en su exterior esta densidad es nula, ya que no hay polarización.

La carga de polarización almacenada en el volumen valdrá, por ser la densidad uniforme,

Q_v = \int \rho_p \,\mathrm{d}\tau =\left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)\left(-\frac{3k}{1+(t/T)^2}\right) = -\frac{4\pi a^3k}{1+(t/T)^2}

Las densidades de carga superficiales se encontrarán en r = a

\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]= -\mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0-\frac{ka}{1+(t/T)^2}\mathbf{u}_{r}\right)=\frac{ka}{1+(t/T)^2}

siendo la carga total almacenada en la superficie

Q_s =\int \sigma_p\,\mathrm{d}S =\left(4\pi a^2\right)\frac{ka}{1+(t/T)^2} = \frac{4\pi ka^3}{1+(t/T)^2}=-Q_v

Tanto la carga de volumen como la de superficie disminuyen en magnitud a lo largo del tiempo. La carga total de polarización será nula en todo instante

Qp = Qv + Qs = 0

La densidad de corriente de polarización valdrá en el interior de la esfera

\mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t} = -\frac{2k\mathbf{r}t/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}

y será nula en el exterior.

Esta densidad de corriente verifica la ley de conservación de la carga para ρp y para σp. En el primer caso tenemos

\nabla{\cdot}\mathbf{J}_p = -\frac{6kt/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}        \frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t} = \frac{6kt/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}        \nabla{\cdot}\mathbf{J}_p+\frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t}=0

Para las superficiales empleamos la condición de salto

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p]= \mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0+\frac{2kat/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}\mathbf{u}_r\right) =
\frac{2kat/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}        \frac{\partial{}\sigma_s}{\partial{}t} = \frac{2kat/T^2}{(1+(t/T)^2)^2}        \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial{}\sigma_s}{\partial{}t}

Por supuesto, la ley de conservación de la carga puede demostrarse de forma general a partir de la definición de ρp, σp y \mathbf{J}_p

\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} \qquad \mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}
        \nabla{\cdot}\mathbf{J}_p = \nabla{\cdot}\left(\frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}\right) = \frac{\partial{}\ }{\partial{}t}\left(\nabla{\cdot}\mathbf{P}\right)=
-\frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t}

y análogamente para las densidades de superficie

\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]        \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p] = \mathbf{n}{\cdot}\left[\frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}\right] = \frac{\partial{}\ }{\partial{}t}\left(\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]\right)=
-\frac{\partial{}\sigma_p}{\partial{}t}

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