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Deslizamiento de una placa triangular

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una placa en forma de triángulo rectángulo con catetos que miden |\overrightarrow{AB}|=60\,\mathrm{cm} y |\overrightarrow{BC}|=80\,\mathrm{cm} desliza por dos paredes (XZ e YZ) y el suelo (XY) de forma que:

  • Su vértice C desciende por la esquina entre las dos paredes (eje Z)
  • Su vértice B se desliza por la esquina entre la pared del fondo y el suelo (eje Y).
  • Su vértice A se desliza por el suelo, de forma que el vector de posición relativa \overrightarrow{AB} es siempre paralelo a la esquina entre la pared lateral y el suelo.

Suponga que la velocidad del vértice B es constante, \vec{v}_B=1.2\vec{\jmath} (m/s)

En un determinado momento, el vértice B se encuentra a 64\,cm de la esquina. Para este instante:

  1. Calcule la velocidad de cada vértice.
  2. Halle la velocidad angular de la placa.
  3. Identifique el tipo de movimiento que describe el sólido (traslación, rotación,…)
  4. Dé la ecuación del EIRMD (o EIR, en su caso).
  5. Halle la aceleración de cada vértice.
  6. El centro de masas, G, de un triángulo homogéneo es el baricentro, cuyas coordenadas son la media aritmética de las de los tres vértices. Calcule la velocidad y aceleración del CM para este mismo instante. ¿Qué trayectoria describe el baricentro?

2 Introducción

Este problema es prácticamente idéntico, salvo en el cálculo de la aceleración, al problema “deslizamiento de una barra”. Como en ese tenemos un movimiento en el que conocemos la velocidad de un punto que se mueve horizontalmente, y queremos hallar la de uno que se mueve verticalmente.

Lo único que se añade es el aspecto tridimensional del problema, pero dado que el punto A se desplaza como el B, en realidad esto es un movimiento plano, siendo el plano director el YZ.

Como en el problema citado, para cada apartado existen diferentes formas correctas de llegar a cada resultado.

En todo lo que sigue usamos el SI, por lo que aunque no se indiquen unidades, se entiende que las distancias se miden en m, las velocidades en m/s, las aceleraciones en m/s², la velocidad angular en rad/s y la aceleración angular en rad/s².

3 Velocidad de los vértices

3.1 Posiciones de los vértices

Antes de calcular las velocidades, vamos a determinar las posiciones de cada uno de los vértices en el instante en cuestión.

El vértice B está sobre el eje OY, a una distancia de 64 cm de la esquina. Si tomamos el origen de coordenadas en la esquina y

\overrightarrow{OB}=y_B\vec{\jmath}=0.64\,\vec{\jmath}

El punto A se mueve paralelamente al B, sobre una recta a 60 cm de este. Por ello

\overrightarrow{OA}=x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath}=b\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}=0.60\,\vec{\imath}+0.64\,\vec{\jmath}\qquad\qquad b = \left|\overrightarrow{BA}\right|

El vértice C está sobre el eje Z.

\overrightarrow{OC}=z_C\vec{k}

La altura instantánea la podemos hallar mediante el teorema de Pitágoras. si h es la longitud del cateto BC

z_c = \sqrt{h^2-y_B^2}=\sqrt{0.80^2-0.64^2}=0.48\qquad\qquad h = \left|\overrightarrow{BC}\right|

En forma vectorial

\overrightarrow{OC}=z_C\vec{k}=0.48\vec{k}

3.2 Velocidades

Tenemos como dato la velocidad del vértice B

\vec{v}_B=\dot{y}_B\vec{\jmath}=1.2\,\vec{\jmath}

y puesto que nos dicen que el lado AB es paralelo en todo momento al eje OX, esto implica que A se mueve con la misma velocidad que B

\vec{v}_A=\dot{x}_A\vec{\imath}+\dot{y}_A\vec{\jmath}=1.2\,\vec{\jmath}

Para hallar la velocidad del vértice C tenemos varios métodos, como los descritos en el problema citado

  • A partir de la condición de rigidez.
  • A partir del campo de velocidades.
  • Derivando la posición como función del tiempo.
  • A partir del eje instantáneo de rotación.

Aquí describiremos solamente el método del campo de velocidades. Los otros pueden consultarse en el otro problema.

Tenemos, que para cualquier punto del sólido se cumple

\vec{v}_P=\vec{v}_B+\vec{\omega}\times\overrightarrow{BP}

En particular, P puede ser el punto A. Ahora bien, se cumple

\vec{v}_A=\vec{v}_B\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{BA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\parallel\overrightarrow{BA}

En el momento que tenemos dos puntos con la misma velocidad lineal, ya sabemos que la velocidad angular va a ser paralela a la recta que pasa por esos dos puntos, es decir,

\vec{\omega}=\omega\vec{\imath}

Si ahora aplicamos la misma fórmula al punto C tenemos

\vec{v}_C=\vec{v}_B+\vec{\omega}\times\overrightarrow{BC}

siendo

\overrightarrow{BC}=\vec{r}_C-\vec{r}_B=z_C\vec{k}-y_B\vec{\jmath}= -0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}

Poniendo cada vector en sus componentes cartesianas

v_C\vec{k}=v_B\vec{\jmath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega & 0 & 0 \\ 0 & -y_B & z_C\end{matrix}\right| = (v_B-\omega z_C)\vec{\jmath}-\omega y_B\vec{k}

Igualamos componente a componente y queda

0 = v_B-\omega z_C \qquad\qquad v_C = -\omega y_B

De aquí calculamos a la vez la velocidad angular y la velocidad del vértice C

\omega = \frac{v_B}{z_C}=\frac{1.2}{0.48}=2.5\qquad\qquad v_C = -\omega y_B = -2.5\times 0.64 = -1.6

En forma vectorial

\vec{\omega}=2.5\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_C=-1.6\vec{k}

4 Velocidad angular

La velocidad angular la acabamos de calcular

\vec{\omega}=2.5\vec{\imath}

5 Tipo de movimiento

En el momento en que la velocidad angular no es nula, ya el movimiento solo puede ser una rotación o uno helicoidal. Para distinguir entre ellos, calculamos la velocidad de deslizamiento, que es la misma para todos los puntos

v_d = \frac{\vec{v}_B\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}

pero al ser vectores perpendiculares

\vec{\omega}\cdot\vec{v}_B=(\omega\vec{\imath})\cdot(v_B\vec{\jmath})=0

la velocidad de deslizamiento es nula (vd = 0). Por tanto el movimiento es una rotación pura.

6 Eje instantáneo de rotación

La ecuación del eje respecto al punto B la calculamos mediante la fórmula general

\overrightarrow{BE}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_B}{|\vec{\omega}|^2}+\lambda\vec{\omega}

Un punto del eje nos lo da el primer término

\overrightarrow{BE}_0=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_B}{|\vec{\omega}|^2}=\frac{(\omega\vec{\imath})\times(v_B\vec{\jmath}}{\omega^2}=\frac{v_B}{\omega}\vec{k}

pero, sustituyendo la ecuación que nos da el valor de ω, queda

\overrightarrow{BE}_0=z_C\vec{k}

Numéricamente

\overrightarrow{BE}_0=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_B}{|\vec{\omega}|^2}=\frac{(2.5\vec{\imath})\times(1.2\vec{\jmath}}{2.5^2}=0.48\vec{k}

Por tanto la ecuación vectorial del eje es

\overrightarrow{BE}=z_C\vec{k}+\omega\lambda\vec{\imath}=0.48\vec{k}+2.5\lambda\vec{\imath}

Si la escribimos respecto al origen de coordenadas

\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}=2.5\lambda\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}

Esto lo podemos separar en sus componentes cartesianas

\left\{\begin{array}{rcl} x & = & 2.5\lambda \\ y & = & 0.64 \\ z & = & 0.48\end{array}\right.

Como en el problema de la barra, el eje es una recta perpendicular al plano de movimiento, situado sobre el punto donde cortan las perpendiculares a las dos velocidades, que es la esquina opuesta del rectángulo que pasa por C, O y B

7 Aceleración de cada vértice

La aceleración del vértice B es un dato. Puesto que se mueve a velocidad constante

\vec{a}_B=\vec{0}

El punto A también se mueve uniformemente, puesto que siempre se mantiene en la misma posición relativa respecto a B

\vec{a}_A=\vec{a}_B=\vec{0}

Para hallar la aceleración del vértice C, de nuevo tenemos diferentes formas de hacerlo, siendo las más directas:

  • Derivando dos veces la ecuación horaria
    \vec{r}_C=\vec{r}_C(t)
  • A partir del campo de aceleraciones de un sólido.

7.1 A partir del campo de aceleraciones

La expresión para la aceleración de C se puede calcular mediante la expresión

\vec{a}_C=\vec{a}_B+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{BC}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{BC})=\vec{a}_B+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{BC}+(\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{BC})\vec{\omega}-|\vec{\omega}|^2\overrightarrow{BC}

donde

  • La aceleración de B es nula, por moverse uniformemente
\vec{a}_B=\vec{0}
  • Puesto que A y B tienen la misma velocidad en todo momento, la velocidad angular es siempre paralela al eje OX y por tanto
\vec{\omega}=\omega \vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\alpha}=\alpha\vec{\imath}
  • El vector de posición relativa es la diferencia entre los dos vectores de posición
\overrightarrow{BC}=-y_B\vec{\jmath}+z_C\vec{k}
  • C se mueve verticalmente, por lo que su aceleración tiene una sola componente
\vec{a}_C=a_C\vec{k}

Con todo esto, queda lo siguiente

a_C\vec{k}=(\alpha\vec{\imath})\times(-y_B\vec{\jmath}+z_C\vec{k})-\omega^2(-y_B\vec{\jmath}+z_C\vec{k})

Igualamos componente a componente

\begin{array}{rcl}
0 & = & -\alpha z_C+\omega^2y_B\\
a_C & = & -\alpha y_B-\omega^2z_C
\end{array}

De aquí obtenemos la aceleración angular

\alpha = \frac{\omega^2y_B}{z_C}=\frac{2.5^2\times 0.64}{0.48}=8.33\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\alpha}=8.33\vec{\imath}

y de aquí la aceleración de C

a_C = -\alpha y_B-\omega^2z_C=-\frac{\omega^2 y_B^2}{z_C}-\omega^2z_C=-\frac{\omega^2(y_B^2+z_C^2)}{z_C}=-\frac{2.5^2(0.64^2+0.48^2)}{0.48}=-8.33\qquad\qquad\vec{a}_C=-8.33\vec{k}

7.2 Derivando la ecuación horaria

Tenemos que la posición de B como función del tiempo es

\overrightarrow{OB}(t)=v_B t\vec{\jmath}=1.2t

por moverse uniformemente. El instante en que alcanza la posición descrita en el problema es

0.64 = 1.2t\qquad\Rightarrow\qquad t = 0.533

La posición de C como función del tiempo la hallamos mediante el teorema de Pitágoras

z_C(t) = \sqrt{h^2 - y_B^2(t)}=\sqrt{h^2-v_B^2 t^2}

Derivando aquí obtenemos la velocidad de C

v_C = \dot{z}_C = -\frac{v_B^2 t}{\sqrt{h^2-v_B^2t^2}}=-\frac{v_By_B}{z_C}

Para el instante descrito en el problema

v_C = -\frac{1.2\times 0.64}{0.48}=-1.6

como ya habíamos calculado anteriormente.

Derivando de nuevo

a_C = -\frac{v_B^2}{\sqrt{h^2-v_B^2 t^2}}-\frac{v_B^4 t^2}{(h^2-v_B^2t^2)^{3/2}}=-\frac{v_B^2}{z_C}-\frac{v_B^2y_B^2}{z_C^3}

Numéricamente

a_C = -\frac{1.2^2}{0.48}-\frac{1.2^2\times 0.64^2}{0.48^3}=-8.33

y en forma vectorial

\vec{a}_C=-8.33\vec{k}

8 Propiedades del centro de masas

El centro de masas del triángulo es su baricentro, que como indica el enunciado se calcula como la media aritmética de las posiciones de los vértices.

8.1 Posición

Hallamos la media

\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}=\frac{(0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath})+(0.64\vec{\jmath})+(0.48\vec{k})}{3}=0.20\vec{\imath}+0.43\vec{\jmath}+0.16\vec{k}

8.2 Velocidad

De manera análoga hallamos la velocidad del CM en el mismo instante

\vec{v}_G=\frac{\vec{v}_A+\vec{v}_B+\vec{v}_C}{3}=\frac{1.2\vec{\jmath}+1.2\vec{\jmath}-1.6\vec{k}}{3}=0.8\vec{\jmath}-0.53\,\vec{k}

8.3 Aceleración

Igualmente, hallamos la aceleración como la media de las tres

\vec{a}_G=\frac{\vec{a}_A+\vec{a}_B+\vec{a}_C}{3}=\frac{\vec{0}+\vec{0}-8.33\vec{k}}{3}=-2.78\,\vec{k}

8.4 Trayectoria

Para hallar la trayectoria del centro de masas no nos basta con saber donde se encuentra en un solo instante, sino que precisamos saber cómo cambia la posición a lo largo del tiempo.

Tenemos que la posición de cada vértice cumple

\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}+v_Bt\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=v_Bt\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OC}=\sqrt{h^2-v_B^2t^2}\vec{k}

y por tanto la posición del baricentro en cada instante es

\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}=\frac{b}{3}\vec{\imath}+\frac{2v_Bt}{3}\vec{\jmath}+\frac{\sqrt{h^2-v_B^2t^2}}{3}\vec{k}

Si separamos este vector de posición en sus componentes queda


\left\{\begin{array}{rcl}x & = & \displaystyle{b}{3} \\ && \\ y & = & \displaystyle \frac{2v_B}{3}t \\ && \\ z & = & \displaystyle\frac{\sqrt{h^2-v_B^2t^2}}{3}\end{array}\right.

Al ser x una constante, la trayectoria es plana, estando contenida en un plano paralelo al YZ. Para ver cuál es la curva eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones. Queda

z = \frac{\sqrt{h^2-(3y/2)^2}}{3}

Eliminamos la raíz en esta ecuación

(3z)^2 + \left(\frac{3y}{2}\right)^2 = h^2

o, lo que es lo mismo,

\left(\frac{y}{2h/3}\right)^2+\left(\frac{z}{h/3}\right)^2 = 1

que es la ecuación de un arco de elipse centrada en el eje X.

Archivo:baricentro-triangulo.gif

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