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Descarga de un condensador con un medio polarizado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por tres placas conductoras ideales, planas y paralelas, todas de área S. Todas las placas pueden suponerse muy delgadas. Entre la placa “1” y la “2” hay un dieléctrico ideal de espesor a, caracterizado porque presenta una polarización uniforme y constante \mathbf{P}_0, perpendicular a dichas placas. Entre las placas “2” y “3”, separadas una distancia b, hay un medio óhmico de conductividad σ y permitividad \varepsilon. Las dos regiones entre las placas están inicialmente descargadas. La placa central se encuentra conectada a un generador, que fija una diferencia de potencial V0 respecto a las otras dos placas, ambas a tierra.
  1. Determine los campos y corrientes en el sistema cuando éste se halla en régimen estacionario.
  2. Calcule las distribuciones estacionarias de carga libre en el sistema. Ajuste el valor de V0 para que la placa central esté descargada. Este valor se usará en los dos apartados siguientes.
  3. En un instante t = 0 se desconecta el generador. Halle la distribución de campos, corrientes y cargas libres en el sistema cuando se alcanza de nuevo una situación estacionaria.
  4. Calcule la evolución en el tiempo de los campos, las corrientes y la carga libre en las placas.

Desprecie los efectos de borde.

2 Solución

2.1 Estado estacionario antes de la desconexión

La clave para resolver este apartado es observar que la placa central es un conductor a potencial fijado y por tanto separa completamente los problemas a un lado y al otro de ella. Así, en lugar de un problema complicado tenemos dos problemas sencillos.

Escogemos el eje Z perpendicular a las placas, apuntando hacia arriba. De este modo la placa inferior se sitúa en z = 0, la placa intermedia en z = a y la superior en z = a + b

2.1.1 En la región 0 < z < a

Tenemos una región polarizada uniformemente con polarización

\mathbf{P}_1=P_0\mathbf{u}_z

situada entre dos conductores a potenciales 0 y V0, respectivamente.

Si suponemos despreciables los efectos de borde, dado que el medio entre las placas es homogéneo, el campo eléctrico es uniforme entre las placas y va en la dirección perpendicular a ellas:

\mathbf{E}_1=E_1\mathbf{u}_z

El valor del campo lo obtenemos de la diferencia de potencial entre las placas:

0-V_0=\int_0^a E\,\mathrm{d}z = E_1 a   \Rightarrow   \mathbf{E}_1 = -\frac{V_0}{a}\mathbf{u}_z

y, conocidos el campo y la polarización tenemos el vector desplazamiento:

\mathbf{D}_1=\varepsilon_0\mathbf{E}_1+\mathbf{P}_1=\left(-\frac{\varepsilon_0V_0}{a}+P_0\right)\mathbf{u}_z

La densidad de corriente es nula en esta región, por ser un dieléctrico ideal.

2.1.2 En la región a < z < a + b

Tenemos un medio óhmico entre dos placas a distinto potencial. En esta región el campo eléctrico vale

V_0-0=\int_a^{a+b}\!\! E\,\mathrm{d}z = E_2 b   \Rightarrow   \mathbf{E}_2 = \frac{V_0}{b}\mathbf{u}_z

Obsérvese que en esta región el campo va en sentido opuesto al de la otra zona. En ambos casos el campo va desde la placa de mayor central (la intermedia) a las de los extremos.

La densidad de corriente y el desplazamiento en esta región valen

\mathbf{J}_2=\sigma\mathbf{E}_2 = \frac{\sigma V_0}{b}\mathbf{u}_z        \mathbf{D}_2=\varepsilon\mathbf{E}_2 = \frac{\varepsilon V_0}{b}\mathbf{u}_z

La corriente que circula entre la placa central y la superior es el flujo de la densidad volumétrica \mathbf{J}_2 a través de una superficie paralela a las placas

I_2 = \int_S \mathbf{J}_2\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=J_2 S=\frac{\sigma V_0 S}{b}

siendo S la superficie de las placas

2.2 Carga libre y voltaje de la placa central

2.2.1 Densidad volumétrica de carga libre

Al ser uniformes los campos en cada una de las regiones, la densidad volumétrica de carga libre es nula

\rho_l = \nabla\cdot\mathbf{D} = 0

Sí hay densidades de carga libre sobre las placas conductoras. En todas ellas, por ser muy delgadas, podemos calcular la densidad superficial a partir del salto en \mathbf{D}, sin necesidad de distinguir entre una y otra cara de la placa.

2.2.2 Carga superficial en la placa de z = 0

Para la placa en z = 0, el vector desplazamiento en la parte superior es \mathbf{D}_1, mientras que en la parte inferior es nulo, ya que en el exterior de un condensador ideal no hay campo eléctrico. Por tanto

\sigma_l(0) = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\left(-\frac{\varepsilon_0 V_0}{a}+P_0\right)\mathbf{u}_z-\mathbf{0}\right) = -\frac{\varepsilon_0V_0}{a}+P_0

y la carga total en dicha placa

Q(0) = \int_S\sigma_l\,\mathrm{d}S = -\frac{\varepsilon_0SV_0}{a}+P_0S

2.2.3 Carga en la placa central

La densidad de carga libre en la place central vale

\sigma_l(a) = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\frac{\varepsilon V_0}{b}\mathbf{u}_z - \left(-\frac{\varepsilon_0 V_0}{a}+P_0\right)\mathbf{u}_z\right) = \frac{\varepsilon a + \varepsilon_0 b}{ab}V_0- P_0

y la carga libre total de esta placa es

Q(a) = \int_S\sigma_l\mathrm{d}S = \frac{(\varepsilon a + \varepsilon_0 b)S}{ab}V_0- P_0S

2.2.4 Carga en la placa superior

Siguiendo el mismo método

\sigma_l(+b) = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\mathbf{0}-\frac{\varepsilon V_0}{b}\mathbf{u}_z\right) = -\frac{\varepsilon V_0}{b}

y la carga libre total de esta placa es

Q(a+b) = \int_S\sigma_l\mathrm{d}S = -\frac{\varepsilon SV_0}{a}

2.2.5 Condición para el potencial

Si queremos que la carga de la placa central sea nula el voltaje debe valer

V_0 = \frac{P_0ab}{\varepsilon a + \varepsilon_0 b}

2.3 Estado estacionario tras la desconexión

Una vez que se desconecta el generador, el potencial de la placa central deja de estar fijado. El sistema evoluciona hasta alcanzar un nuevo estado estacionario.

Lo que caracteriza a este estado estacionario no es, de entrada, que la placa central esté descargada, o que su potencial sea nulo, sino que el sistema no depende del tiempo.

2.3.1 Campo en el medio óhmico

Si aplicamos la ley de conservación de la carga a la placa central tenemos que

0 = -\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}S

Esta integral se compone, en principio, de dos partes: una, que da la corriente a lo largo del cable conectado a la placa, pero ésta es nula por estar el generador desconectado; la otra corresponde a la corriente a través del medio óhmico. Por tanto

0 = \int \mathbf{J}_2\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= J_2S   \Rightarrow   \mathbf{J}_2=\mathbf{0}

y si no hay corriente, tampoco hay campo, por ser un medio óhmico

\mathbf{E}_2 = \frac{\mathbf{J}_2}{\sigma}=\mathbf{0}

Si el campo eléctrico en el medio óhmico es nulo, también lo será el vector desplazamiento en dicho medio.

2.3.2 Potencial de la placa central

El potencial de la placa central verifica

V(a) - V(a+b) = \int_a^{a+b}\!\! E_2\mathrm{d}z=0   \Rightarrow   V(a) = V(a+b)=0\,

esto es, la placa central se encuentra también a tierra.

2.3.3 Campo en el medio polarizado

El campo eléctrico en el medio polarizado es también nulo

\mathbf{E}_1 = \frac{V(0)-V(a)}{a}\mathbf{u}_z = \mathbf{0}

no así el vector desplazamiento

\mathbf{D}_1 =\varepsilon_0\mathbf{E}_1+\mathbf{P}_1 = P_0\mathbf{u}_z

2.3.4 Carga en la placa central

Al haber una discontinuidad en el vector desplazamiento, debe haber una densidad de carga en la placa central

\sigma_l(a) = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\mathbf{0} -P_0\mathbf{u}_z\right) = -P_0

y la carga libre total de esta placa es

Q(a) = \int_S\sigma_l\mathrm{d}S = -P_0S\,

2.3.5 Carga en las placas exteriores

También existe una carga, opuesta a la anterior, en la placa situada en z = 0

\sigma_l(0) = P_0\,        Q(0) = P_0S\,

En la placa superior, en cambio, la carga es nula, por ser nulo el campo a ambos lados

\sigma_l(a+b)=0\,        Q(a + b) = 0

2.4 Estado transitorio

Para estudiar la evolución del sistema, supondremos que en cada instante la placa central posee un cierto valor V(t) que hemos de determinar. Su valor inicial será el calculado en el segundo apartado.

En cada instante, la carga de la placa central será, de acuerdo con el cálculo anterior

Q(a) = \frac{(\varepsilon a + \varepsilon_0 b)S}{ab}V(t)- P_0S

mientras que la corriente que fluye a través del medio óhmico es

I=\int \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=J_2S = \frac{\sigma S}{b}V(t)

Aplicando ahora la ley de conservación de la carga a una superficie que envuelve a la placa central resulta

-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}= -\frac{(\varepsilon a + \varepsilon_0 b)S}{ab}\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \frac{\sigma S}{b}V(t)

lo que se puede escribir como

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = -\frac{V(t)}{\tau}         \tau = \frac{(\varepsilon a + \varepsilon_0 b)}{a\sigma}

La solución de esta ecuación diferencial es

V(t) = V_0\mathrm{e}^{-t/\tau} =\frac{P_0ab\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\varepsilon a + \varepsilon_0 b}

Este resultado indica que el voltaje decae exponencialmente desde su valor inicial hasta el potencial nulo final.

Aplicando las fórmulas obtenidos en el primer apartado, sustituyendo V0 por V(t) tenemos los campos en cada instante en cada región.

En particular, la carga de la placa central vareía con el tiempo, pasando de ser nula a tener un valor distinto de cero:

Q(a) = \frac{(\varepsilon a + \varepsilon_0 b)S}{ab}V(t)- P_0S = -P_0S\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

Es una pregunta razonable el analizar por qué, si el sistema se está “descargando”, la placa central se está cargando. La razón es que las cargas de polarización asociadas a P0 atraen a cargas libres que se depositan en la placa.

2.5 Errores comunes en la corrección

  • Lo primero que hay que hacer es indicar los ejes con los que se va a trabajar. Mucha gente empieza a poner \mathbf{u}_x o \mathbf{u}_z sin especificar la dirección y sentido del eje X o Z.
  • Un error habitual es equivocarse en el signo del campo \mathbf{E}_1 o \mathbf{E}_2. A veces el problema viene de no definir bien los ejes, como se ha indicado en el punto anterior. Pero en cualquier caso, hay que verificar que el sentido del campo es correcto. El campo eléctrico va de potenciales altos hacia potenciales bajos. Así, en el espacio superior, si V0 es positivo, el campo eléctrico debe ir desde la placa central hacia la superior, que está a tierra. Y en el dieléctrico ideal debe ir desde la placa central hacia la inferior.
  • Otro error corriente es calcular mal la diferencia de potencial entre las placas central y superior, de modo que el campo en el medio conductor sale erróneamente \mathbf{E}_2 = V_0/(b-a)\mathbf{u}_z.
  • Varios examenes han calculado el campo eléctrico total como la suma de los campos en las dos regiones, es decir  \mathbf{E}_{total} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2. Este campo total no tiene sentido. No se puede sumar el campo en dos puntos del espacio distintos. Imagina esta situación. En una casa de 5 habitaciones se mide la temperatura en cada una de ellas, y resulta ser de 20 oC en todas. Si aplicamos el mismo razonamiento de sumar los valores del campo en puntos diferentes, la temperatura total de la casa sería de 100 oC. Está claro que ese resultado sería absurdo.
  • Otra variante de este error es calcular una densidad de carga superficial total como la suma de las densidades de carga en cada placa. No se pueden sumar densidades de carga que están en superficies diferentes.
  • En el tercer apartado, mucha gente ha razonado que, al desconectar la fuente de tensión, las placas se descargan debido a la corriente que fluye desde la placa central hacia la superior, de modo que al final todos los campos se anulan. Esto no es correcto. Como se indica en la resolución, las placas central e inferior acaban con una carga libre no nula, y el campo final \mathbf{D} en el dieléctrico ideal no es cero. Este error proviene de ignorar el efecto de la polarización permanente del electrete, que produce siempre unas densidades de carga no nulas en las superficies de las placas con las que está en contacto.
  • En varios casos se ha confundido las cargas de polarización con las cargas libres. En los conductores sólo puede haber cargas libres, que vienen dadas por el salto en la componente normal del vector \mathbf{D}. En algunos casos este error se ha compensado con una cálculo equivocado del campo eléctrico, dando por casualidad un valor casi correcto del valor de V0 necesario para que la placa central tenga carga total nula.
  • En algunos exámenes se ha usado una descripción circuital del problema. Sin embargo, la presencia del electrete con polarización permanente hace que las dos placas inferiores no se comportan como un condensador. Aunque puede dar resultados correctos esta estrategia es díficil de usar y, en general, el que la ha elegido no la ha aplicado bien.

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