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Descarga de un condensador

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección S, y separadas una distancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad \varepsilon y conductividad σ. Entre las placas hay establecida una tensión V0.

  1. Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
  2. En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
  3. Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
  4. Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

2 Solución

2.1 Estado estacionario previo a la desconexión

En el estado estacionario, las ecuaciones que describen el sistema son

\nabla{\cdot}\mathbf{J}=0     \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}    \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}

Si suponemos que la corriente va en la dirección perpendicular a las placas

\mathbf{J}=J\mathbf{u}_{z}

el valor de la densidad resulta ser uniforme

0=\nabla{\cdot}\mathbf{J}=\frac{\partial J}{\partial z}\quad\Rightarrow\quad J=J_0

El valor de esta constante lo determinamos a partir del campo eléctrico y la diferencia de potencial

\mathbf{E}=\frac{\mathbf{J}}{\sigma}=\frac{J_0}{\sigma}\mathbf{u}_{z}    V_0=\int_0^aE\,\mathrm{d}z=\frac{J_0a}{\sigma}

de donde

J_0=\frac{V_0\sigma}{a}    E=\frac{V_0}{a}

Conocida la densidad de corriente podemos calcular la corriente que atraviesa el material. Para ello consideramos una sección paralela a una de las placas

I_m=\int \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=J_0S=\frac{\sigma S}{a}V_0

En el estado estacionario, la corriente $I$ que llega por el cable (y que es la que podemos medir mediante un amperímetro) equivale a la que fluye por el material,

I=I_m=\frac{\sigma S}{a}V_0=GV_0=\frac{V_0}{R}

Desde el punto de vista de la medida de la corriente, el sistema se comporta como una resistencia para una tensión continua.

El hecho de que en el interior del elemento exista un campo eléctrico mientras que en el exterior sea (aproximadamente) nulo, implica la presencia de una carga superficial en las placas, con densidad

\sigma_s=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\pm\frac{\varepsilon V_0}{a}

siendo el signo positivo el correspondiente a la placa a mayor potencial.

En el volumen óhmico no hay carga, por ser el material homogéneo y el estado estacionario

\rho=\nabla{\cdot}\mathbf{D}=\frac{\varepsilon}{\sigma}\nabla{\cdot}\mathbf{J}=0

La carga total acumulada sobre la placa positiva es

Q=\oint\mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\int \sigma_s\,\mathrm{d}S=\frac{\varepsilon S}{a}V_0=CV_0

La carga acumulada corresponde a la de un condensador de capacidad C\,.

Podemos preguntarnos cómo es posible que, pudiendo la carga moverse por el interior del material, permanezca una cierta cantidad almacenada en las placas. La respuesta es que esta carga no es siempre la misma. Efectivamente la carga de las placas atraviesa el material, atraída por las de signo opuesto situadas al otro lado. Pero, al estar el sistema conectado a un generador, éste va reponiendo la carga de las placas, de forma que aunque individualmente no son las mismas, su cantidad neta sí permanece constante.

2.2 Evolución del sistema

Cuando se desconecta el generador, desaparece el aporte de carga que llega a las placas. Esto no quiere decir, sin embargo, que desaparezca inmediatamente la corriente que fluye entre las placas. Al haber carga acumulada en las placas y ser de signos contrarios, se produce una corriente, hasta que finalmente queden descargadas.

La diferencia de potencial entre las placas irá decayendo progresivamente, desde su valor inicial V0 hasta la igualación de los potenciales entre las placas, en el estado estacionario final.

Podemos describir el estado transitorio suponiendo que, en un instante dado, t, existe una diferencia de potencial V(t) entre las placas. Supuesta esta tensión, la corriente que fluye en el material es

I_m(t)=\frac{\sigma S}{a}V(t)

Esta corriente no proviene del generador, que está desconectado, sino de la disminución de la carga almacenada. Aplicando la ley de conservación de la carga a una superficie que envuelve a la placa positiva resulta

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S}=-I_m=-\frac{\sigma S}{a}V

La carga almacenada en un cierto instante es

Q=\frac{\varepsilon S}{a}V

con lo que la ecuación resultante para el potencial es

\frac{\varepsilon S}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{\sigma S}{a}V    \Rightarrow    
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{\sigma}{\varepsilon }V

La solución de esta ecuación diferencial es

V(t)=V_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\,    \tau=\frac{\varepsilon }{\sigma}

Con τ el tiempo de relajación del medio. Vemos que la tensión decae exponencialmente. Por las relaciones de proporcionalidad anteriores, lo mismo ocurre con la carga y la intensidad de corriente.

2.3 Potencia disipada y balance energético

La energía que se disipa en el medio óhmico lo hace debido al efecto Joule. El valor de la potencia instantánea disipada es

P_d=\int\mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,d\tau=\int\sigma E^2\,d\tau=\frac{\sigma S}{a}V^2

Durante el estado estacionario previo a la desconexión, esta potencia es constante y coincide con la energía aportada por el generador en la unidad de tiempo, igual al producto de la tensión a la cual trabaja el generador, por la carga que lo atraviesa en la unidad de tiempo

P_g=\frac{V\,dQ}{\mathrm{d}t}=VI=V_0(GV_0)=\frac{\sigma S}{a}V_0^2

Una vez desconectado el generador, ya no se recibe energía desde el exterior. Sin embargo, durante el estado transitorio se sigue disipando energía. El valor total de esta energía es

W_d=\int_0^\infty P_d\,\mathrm{d}t=\frac{\sigma S}{a}\int_0^\infty V_0^2 \mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t=\frac{\tau}{2}\,\frac{\sigma S}{a}V_0^2

Sustituyendo el valor del tiempo de relajación resulta

W_d=\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon S}{a}V_0^2=\frac{1}{2}C V_0^2

Vemos que la energía disipada tras la desconexión corresponde a la energía que se encontraba almacenada en el campo eléctrico. Esta energía procede, en última instancia, también del generador, que en el instante inicial cargó el condensador.

2.4 Circuito equivalente

Para modelar el sistema mediante un circuito, observamos que se trata de un caso particular de los descritos en el un problema sobre corriente alterna: dos conductores perfectos separados por un material óhmico homogéneo. Aplicando la ley de conservación de la carga a una superficie que envuelve la placa positiva, queda

-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=-I+\int
\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}

o, equivalentemente,

I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+I_m

Sustituyendo ahora las relaciones entre la carga almacenada, la corriente que fluye por el medio y la diferencia de potencial en un instante dado, resulta

I=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}+GV

Esta relación corresponde a la que se tiene en un circuito compuesto por dos nodos (correspondientes a las placas), unidos por un condensador ideal (sin conductancia) y una conductancia ideal (sin capacidad) puestas en paralelo. Obsérvese que estos elementos ideales no existen por separado, es su combinación la que posee sentido físico.

Además de estos dos elementos hay que colocar un generador que fije la tensión de uno de los nodos y una conexión a tierra.

En el estado estacionario, la corriente que pasa por el generador atraviesa la resistencia, mientras que el condensador se encuentra cargado. Al ser el estado estacionario, no fluye corriente por el condensador.

I=I_m=GV\,    Q = CV

Cuando se abre el circuito, desaparece el aporte de corriente, pero el condensador está aun cargado. Se descarga a través de la resistencia, cumpliéndose que

0=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}+GV\quad\Rightarrow\quad
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{RC}V

con solución

V=V_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\,    τ = RC

Puede comprobarse que el tiempo de relajación obtenido con el circuito coincide con el hallado a partir de las propiedades del medio.

El cálculo de la energía se realiza de forma similar. En el estacionario es

P_g=V_0I=I^2R\,

mientras que en el transitorio se verifica

P_d=I^2R=V^2G\qquad W_d=\int_0^\infty G V_0^2
\mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t=\frac{\tau}{2}GV_0^2=\frac{1}{2}CV_0^2

Hay que insistir en que, aunque en el circuito equivalente se represente así, la descarga del condensador no se produce a través de una resistencia separada, sino a través del propio elemento.

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