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Derivada direccional

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función h(x,y)\, que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia.

La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.

Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.

2 Definición

Definimos la derivada direccional de un campo escalar \phi\, en un punto \mathbf{r}_0\, según una dirección marcada por el vector unitario \mathbf{v}\,, de la siguiente manera:

  • Consideramos el desplazamiento pequeño desde \mathbf{r}_0 en la dirección marcada por \mathbf{v}
\Delta\mathbf{r} = \left|\Delta\mathbf{r}\right|\mathbf{v}
  • Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
\Delta\phi = \phi(\mathbf{r}_0+\Delta \mathbf{r}) - \phi(\mathbf{r}_0)
  • La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
\frac{\partial \phi}{\partial v}  = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{\Delta\phi}{|\Delta\mathbf{r}|}

La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.

3 Derivadas parciales

Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por \mathbf{u}_x\,. La aplicación del límite nos da

\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(\mathbf{r}_0+h\mathbf{u}_{x})-\phi(\mathbf{r}_0)}{h}

pero, si consideramos \phi\, como función de las tres coordenadas x\,, y\, y z\,, moverse en la dirección de \mathbf{u}_x\, equivale a variar la coordenada x\,, manteniendo las otras dos constantes, esto es

\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(x_0+h,y_0,z_0)-\phi(x_0,y_0,z_0)}{h}

esto es, resulta la derivada ordinaria de la función \phi\, con respecto a x\,, tratando a y\, y z\, como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.

Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.

4 Ejemplo

Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar

\phi=\frac{r^2}{2}=\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{2}

La derivada direccional de este campo en un punto \mathbf{r}_0 según la dirección marcada por \mathbf{v} es

\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})-\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{r}_0}{|\Delta\mathbf{r}|}

Desarrollando el producto queda

\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{2\mathbf{r}_0\cdot\Delta\mathbf{r}+|\Delta\mathbf{r}|^2}{|\Delta\mathbf{r}|}=
\lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\left(2\mathbf{r}_0\cdot\frac{\Delta\mathbf{r}}{|\Delta\mathbf{r}|}+|\Delta\mathbf{r}|\right) = 2\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v}

ya que \Delta\mathbf{r}/|\Delta\mathbf{r}| es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección

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