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Cuestión sobre teoremas de conservación, F1 GIA (Enero, 2012)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña bolita P, de masa m, está insertada en un aro de centro O y radio R, fijado en el plano horizontal OXY. La partícula está sometida a la acción de la gravedad (en la dirección perpendicular al plano, \vec{g}=-g\!\ \vec{k}) y a la de un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene un extremo fijo en el punto de circunferencia de coordenadas A( − R / 2,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro es despreciable. Para el sistema descrito, responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
  1. ¿Se conserva la energía mecánica?
  2. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto O?
  3. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto A?

2 Solución

2.1 Análisis de las fuerzas en el sistema

Este es el punto clave para resolver la cuestiones planteadas en el ejercicio, pues las características de estas magnitudes van a determinar la conservación o no de la energía mecánica y el momento cinético de la partícula.

 

La acción de la gravedad se traduce en la existencia de la fuerza peso que actúa en la dirección y el sentido de \vec{g}. El resorte ideal de longitud natural nula conectado al punto fijo A ejerce una fuerza recuperadora colineal (y proporcional) al segemento orientado \overrightarrow{PA}:
\begin{array}{l}\vec{P}=m\!\ \vec{g}=-mg\!\ \vec{k}\\ \\
\vec{F}_A=k\!\ \overrightarrow{PA}\!\ \perp\!\ \vec{k}\end{array}

Pero la partícula no se mueve libremente, pues está insertada en el aro fijo de centro O y radio R contenido en un plano horizontal OXY. Como el rozamiento entre la bolita y el aro es despreciable, se trata de un vínculo liso. Aplicando el principio de liberación, introducimos una fuerza equivalente que produzca un efecto idéntico al vínculo: impedir los desplazamientos de la partícula que no sean tangentes al aro. En consecuencia, la fuerza de reacción vincular tendrá componentes en la dirección perpendicular al plano OXY y en la dirección radial, que son las direcciones no permitidas al movimiento de la partícula:

\Phi\!\ \perp\!\ \delta \vec{r}\!\ \perp\!\ \vec{k}\mathrm{,}\, \overrightarrow{OP}\quad\Longrightarrow\quad\vec{\Phi}=\vec{\Phi}_r+\vec{\Phi}_z\ \mathrm{,}\quad \mathrm{con}\;\;\left\{\begin{array}{l}\vec{\Phi}_r\!\ \|\!\ \overrightarrow{OP}\!\ \perp\!\ \vec{k}\\ \\
\vec{\Phi}_z=\Phi_z\!\ \vec{k}\end{array}\right.

Además, la resultante de estas fuerzas debe ser igual a la variación instantánea de la cantidad de movimiento de la partícula. Y como ésta siempre se mueve contenida en el plano OXY, ni su aceleración, ni la resultante de las fuerzas tendrán componente en la dirección perpendicular al plano. Es decir, el peso de la partícula y la componente “z” de la reacción vincular se anulan en todo instante. Por otra parte, la componente horizontal \vec{\Phi}_r de la fuerza vincular y la del resorte no están alineadas en general, dando lugar a que la partícula se mueva por el aro al tener aceleración no nula.

\sum_i\vec{F}_i=\vec{P}+\vec{F}_A+\vec{\Phi}_r+\vec{\Phi}_z=m\!\ \vec{a}(t)\!\ \perp\!\ \vec{k}\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\vec{P}+\vec{\Phi}_z=\vec{0}\\ \\ 
\sum_i\vec{F}_i=\vec{F}_A+\vec{\Phi}_r=m\!\ \vec{a}(t)\neq \vec{0}\end{array}\right.

2.2 Teoremas de conservación

2.2.1 Conservación de la energía mecánica

El teorema de conservación de la energía mecánica para una partícula establece que dicha magnitud se conserva sí y solo si sobre ella sólo actúan fuerzas conservativas y los posibles vinculos a que se encuentra sometida son geométricos y lisos, de manera que las correspondientes fuerzas de reacción vincular equivalantes no realicen trabajo.

En el caso bajo estudio, la partícula está sometida a la acción del peso y de un resorte ideal, y ambos son casos paradigmáticos de fuerzas conservativas. En cuanto a la fuerza de reacción vincular, ésta no va a realizar trabajo al ser estrictamente perpendicular a los desplazamientos de la partícula, por ser el vínculo geométrico y liso. Y, puesto que se verifican todas las condiciones necesarias y suficientes establecidas por el teorema de conservación, se tendrá que la energía mecánica de la partícula permanenecerá constante cuando ésta se desplaza por el aro.

También podemos llegar a este resultado partiendo de que la variación instantánea de la energía mecánica de la partícula es igual a la potencia desarrollada por las fuerzas no conservativas que actúen sobre la partícula, como fuerzas de reacción vincular (motoras, de rozamiento, etc.). En el sistema bajo estudio, la única fuerza no conservativa es la de reacción vincular, que es perpendicular a los desplazamientos permitidos \delta \vec{r} al tratarse de un vínculo liso. Por otra parte, como el vínculo es puramente geométrico, la velocidad de la partícula va a ser parelela a dichos desplazamientos, de manera que...


\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}W^\mathrm{NC}}{\mathrm{d}t}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}(t)=0\ \mathrm{,}\;\;\forall\, t\quad   \Rightarrow   \quadE(t)=E_0\ \mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}

2.2.2 Conservación del momento cinético en O

El momento cinético de la partícula respecto del punto O se define como el momento respecto de dicho punto de la cantidad de movimiento de la partícula:

\vec{L}_O(t)=\vec{OP}\times\vec{p}(t)=m\!\ \vec{r}(t)\times\vec{v}(t)

El teorema del momento cinético establece que la variación instantánea de este magnitud vectorial es igual al momento resultante respecto de O de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula:

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\vec{M}_O

En consecuancia, se deduce un teorema de conservación según el cuál, el momento cinético de la partícula respecto de O permanece constante en el tiempo sí y solo sí en todo instante es nulo el momento resultante respecto de dicho punto:

\vec{L}_O\ \mathrm{,}\;\; \mathrm{cte.}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{M}_O=\vec{0}\ \mathrm{,}\;\;\forall\, t

Calculemos el momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula en el sistema bajo estudio:

\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\underbrace{\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_A}_{\neq\vec{0}}+\underbrace{\overrightarrow{OP}\times\vec{\Phi}_r}_{=\vec{0}}\neq \vec{0}

Es decir, la componente \vec{\Phi}_r de la fuerza de reacción vincular es siempre colineal con el radiovector \overrightarrow{OP} y, por tanto, no contribuye al cambio del momento cinético respecto del punto O. Sin embargo, la fuerza del resorte es, en general, no colineal con dicho segmento orientado, provocando la variación de \vec{L}_O en el tiempo y haciendo, por tanto, que no se conserve.

\vec{M}_O=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\neq\vec{0}\;\;\Longrightarrow\;\;\vec{L}_O=\vec{L}_O(t)

2.2.3 Conservación del momento cinético en A

De manera análoga al aparado anterior, para que se conserve el momento cinético de la partícula respecto de A es condición necesaria y suficiente que en todo instante sea nulo el momento resultante respecto de A de las fuerzas aplicadas en la partícula:

\vec{L}_A\ \mathrm{,}\;\; \mathrm{cte.}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{M}_A=\overrightarrow{AP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\vec{0}\ \mathrm{,}\;\;\forall\, t

Si calculamos dicho momento resultante, observamos que es también distinto de cero, pues aunque la fuerza del resorte no produce cambios en el momento cinético al ser colineal con el segmento orientado \overrightarrow{AP}, sí los producirá la componente horizontal de la fuerza de reacción vincular, \vec{\Phi}_r. Observese que esta fuerza va a ser no nula, en general, pues debe cancelar a la componente de la fuerza del resorte en la dirección del radio-vector \vec{r}(t):

\vec{M}_A=\overrightarrow{AP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\underbrace{\overrightarrow{AP}\times\vec{F}_A}_{=\vec{0}}+\underbrace{\overrightarrow{AP}\times\vec{\Phi}_r}_{\neq\vec{0}}\neq \vec{0}

En consecuencia, se tendrá que el momento \vec{L}_A no se conserva:

\vec{M}_A=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_A}{\mathrm{d}t}\neq\vec{0}\;\;\Longrightarrow\;\;\vec{L}_A=\vec{L}_A(t)

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