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Cuerpo puntual sobre rampa con rozamiento y resorte, F1 GIA (Ene, 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un cuerpo que puede ser considerado como un punto material P de masa m, se encuentra en una rampa estrecha OA que forma con la horizontal un ángulo α tal que \,\mathrm{sen}\,\alpha=3/5 y \,\mathrm{cos}\,\alpha=4/5. Entre partícula y rampa se establece un contacto unilateral; además, el contacto es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento seco, que aproximadamente tiene el mismo valor, tanto para el caso estático como para el dinámico

\mu_e\approx\mu_d=\mu. Un resorte de longitud natural b y constante recuperadora K conecta la partícula P con el extremo fijo de la rampa, O. Se sugiere utilizar un sistema de referencia cartesiano en que la rampa coincide con el eje OX y el eje OY es perpendicular a la superficie Σ de la misma. Los parámetros del sistema presentan valores tales que verifican la relación \,mg=Kb.


  1. Obtenga la posición de la rampa en que la partícula se mantendría en equilibrio, Peq = P(xeq,0), en el caso en que no hubiese rozamiento (μ = 0). Calcule el valor de la reacción normal del plano-rampa sobre la partícula.
  2. Analice el equilibrio del sistema en el caso de que exista rozamiento (\mu\neq 0), y obtenga la expresión algebraica que permite determinar el rango de posiciones de equilibrio de la partícula en la rampa. ¿Cuál es dicho rango para el caso μ = 1 / 2?
  3. Estando la partícula en el punto O, se aplica una fuerza \vec{F}_\mathrm{ext}, que en todo momento tiene la dirección y sentido opuesto al peso de la partícula para que ésta ascienda por la rampa; es decir, \vec{F}_\mathrm{ext}=F(x)\!\ [(3/5)\!\ \vec{\imath}+(4/5)\!\ \vec{\jmath}]. ¿Cómo deber ser F(x) para que la partícula se desplace a lo largo de la rampa con velocidad constante? ¿Cuál debe ser su valor máximo para que la partícula no pierda el contacto con la rampa?
  4. Calcule el trabajo realizado por la fuerza \vec{F}_\mathrm{ext} para llevar la partícula desde O hasta el punto P0 = P(x0,0) en que pierde el contacto con la rampa. ¿Y qué trabajo ha realizado la fuerza de rozamiento en el proceso?

2 Solución

En primer lugar, tendremos en cuenta que el cuerpo material de masa m y que puede ser considerado como puntual se encuentra situado sobre la rampa estrecha OA, que hacemos coincidir con el eje OX del sistema de referencia sugerido. Por tanto, siempre que la partícula se encuentre en contacto con la rampa, se tendrá que el vector \displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\!\ \vec{\imath} describe la posición P en la que se encuentra la partícula, en función de la distancia x que la separa del extremo O de la rampa que se toma como origen del sistema de referencia. Por tanto, se tendrá además que si la partícula está sobre la rampa, entonces x=|\overrightarrow{OP}|\geq 0.

Por otra parte, con el sistema de referencia cartesiano propuesto, la expresión analítica del vector \vec{g} que describe la gravedad terrestre cerca de la superficie es:

\vec{g}=-g \!\ \left(\frac{3}{5}\ \vec{\imath}+\frac{4}{5}\ \vec{\jmath}\right)

2.1 Posición de equilibrio de la partícula en ausencia de rozamiento con la rampa

Comenzaremos analizando el sistema de fuerzas que actúa sobre la partícula en ausencia de rozamiento con la rampa. Las fuerzas activas o no vinculares presentes en este sistema son la fuerza peso \vec{P}, debida a la acción de la gravedad sobre la masa m de la partícula, y la fuerza ejercida por el resorte \vec{F}_{{}_K}, de constante recuperadora K y longitud natural b. Cuando la partícula se encuentra sobre la rampa, las expresiones analíticas de dichas fuerzas, serán:

\begin{array}{rcl}\displaystyle \vec{P}=m\!\ \vec{g}=-m\!\ g \big(\,\mathrm{sen}\,\alpha\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ \cos\alpha\!\ \vec{\jmath}\!\ \big) & \;\longrightarrow\; &  \displaystyle \vec{P}=-\frac{m\!\ g}{5}\ \big(3\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ 4\!\ \vec{\jmath}\!\ \big)
\\ \\ \displaystyle \vec{F}_{{}_K}(P)=-K\!\ \left(|\overrightarrow{OP}|-b\right)
& \;\longrightarrow\; & \displaystyle \vec{F}_{{}_K}(\vec{r})=K\!\ \left(b-x\right)\!\ \vec{\imath}\end{array}

Y puesto que la partícula está sometida a un vínculo, es necesario introducir en el sistema de fuerzas la fuerza de reacción vincular equivalente a dicho vínculo. Al ser un vínculo liso puramente geométrico (se desprecia el rozamiento), la correspondiente fuerza vincular sólo debe actuar evitando los desplazamientos no compatibles con el vínculo. Obsérvese que, en contacto con la superficie de la rampa, $\Sigma\perp OY$, los desplazamientos compatibles con el vínculo son los tangentes a dicha superficie y los perpendiculares a ésta, pero sólo en el sentido positivo del eje OY. Entonces,...

P\in\Sigma^\mathrm{liso} \equiv \vec{N}\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{tal}\;\mathrm{que}\;\;\; \vec{N}\cdot\delta\vec{r}=0\;\; \Longrightarrow\;\; \left\{\begin{array} {l} \vec{N}=N\!\ \vec{\jmath}\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{si}\;\; \delta\vec{r}=\delta x\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ \delta z \!\ \vec{k}\\ \\ \vec{N}= \vec{0}\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{si}\;\; \delta\vec{r}=\delta x\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ \delta y\!\ \vec{\jmath}\!\ + \!\ \delta z \!\ \vec{k} \mathrm{,}\;\;\mathrm{con}\;\; \delta y>0 \end{array}\right.

 

Se trata, por tanto de un vínculo liso y unilateral, cuya fuerza vincular equivalente tiene la dirección y el sentido del vector normal a la superficie \vec{n}=\vec{\jmath}:



P\in\Sigma^\mathrm{liso}\equiv \vec{N}=N\!\ \vec{\jmath}\perp\Sigma^\mathrm{liso} \mathrm{,} \;\; \mathrm{con}\;\; N\geq 0

Para que la partícula se encuentre en una posición de equilibrio Peq sobre la rampa (es decir, en reposo permanente), es condición necesaria que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula sea el vector nulo:

\overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}=\vec{r}_\mathrm{eq}=x_\mathrm{eq}\!\ \vec{\imath}\;\Longrightarrow\; \left[\vec{P}+ \vec{F}_{{}_K}(\vec{r})+\vec{N}\right]_{P_\mathrm{eq}}=\vec{0}

... y esto ocurrirá cuando se anulen cada una de sus componentes. Como todas las fuerzas analizadas están contenidas en el plano OXY, obtenemos un sistema de dos ecuaciones (una por cada componente cartesiana en dicho plano), con dos incógnitas: el valor xeq que determina la posición de equilibrio, y el valor N de la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partícula en dicha posición. Si además utilizamos la condición de diseño indicada en el enunciado, K\!\ b=m\!\ g, se obtiene:


\left.\begin{array}{l}\displaystyle OX\;\;\longrightarrow\;\; -\frac{3}{5}\ mg + K(b-x_\mathrm{eq})=0\\ \\ \displaystyle OY\;\;\longrightarrow\;\;-\frac{4}{5}\ mg + N^\mathrm{eq}=0\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow     \begin{array}{l}\displaystyle x_\mathrm{eq}=\frac{1}{K}\left(K\!\ b - \frac{3}{5}\ m\!\ g\right)=\frac{2}{5}\ b\\  \\ \displaystyle N^\mathrm{eq}=\frac{4}{5}\ m\!\ g>0\end{array}

Obsérvese que, en la posición de equilibrio, la distancia de la partícula al punto O, donde se encuentra el extremo fijo del resorte, es menor que la longitud natural de éste. Es decir, el resorte está comprimido por lo que empuja a la partícula para alejarla de aquél punto:

\overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}=\vec{r}_\mathrm{eq}=\frac{2}{5}\ b\ \vec{\imath}     \Longrightarrow\;\; \vec{F}_{{}_K}(\vec{r}_\mathrm{eq})= \frac{3}{5}\ K\!\ b\ \vec{\imath}=\frac{3}{5}\ m\!\ g\ \vec{\imath}

Por otra parte, nótese que el módulo de la fuerza de reacción vincular es distinto al peso de la partícula, ya que NO tiene la dirección de la fuerza peso:

\vec{N}(P_\mathrm{eq})=\frac{4}{5}\ m\!\ g\ \vec{\jmath}    \Longrightarrow\;\; \big|\vec{N}(P_\mathrm{eq})\big|<m\!\ g=|\vec{P}|

2.2 Rango de posiciones de equilibrio de la partícula cuando existe rozamiento con la rampa

En esta segunda situación se mantienen las expresiones de las fuerzas no vinculares descritas en el apartado anterior: peso y fuerza del resorte,

\displaystyle \vec{P}=-\frac{m\!\ g}{5}\ \big(3\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ 4\!\ \vec{\jmath}\!\ \big)\mathrm{;}\qquad\vec{F}_{{}_K}(\vec{r})=K\!\ \left(b-x\right)\!\ \vec{\imath}

... pero la existencia de rozamiento entre la partícula y la rampa obliga a modificar la fuerza de reacción vincular que modela el contacto entre ambos cuerpos. Se trata ahora de un vínculo unilateral rugoso, cuya fuerza vincular equivalente puede descomponerse en dos términos: el correspondiente a la restricción geométrica (incluida la unilateralidad), y otro que da cuenta del fenómeno del rozamiento. El primero de ello es la misma reacción normal del apartado anterior. Para el segundo término consideramos que se trata de un fenómeno de rozamiento seco, por lo que la fuerza característica se opone al desplazamiento (virtual o real) de la partícula. En cuanto al módulo, en condiciones de equilibrio, está indeterminado a priori, pero debe ser necesariamente menor que un cierto valor proporcional al módulo de la fuerza de reacción normal. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de rozamiento estático, μe.

P\in\Sigma^\mathrm{rug}\equiv\vec{\Phi}_\mathrm{r}=\vec{N}+\vec{f}_\mathrm{roz}\;\;\mathrm{con}\;\;\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \vec{N}=N\ \vec{\jmath}\mathrm{,}\;\;\; N\geq 0\\ \\ \displaystyle \vec{f}_\mathrm{roz}\!\ \|\!\ \delta\vec{r}\!\ \mathrm{;}\;\;\; |\vec{f}_\mathrm{roz}(P_\mathrm{eq})|\leq \mu_e\ |\vec{N}(P_\mathrm{eq})| \end{array}\right.

Considerando que la partícula se halla en equilibrio, en contacto con la rampa y bajo la acción de las fuerzas no vinculares descritas, el único desplazamiento virtual compatible con la restricción sería a lo largo del eje OX. Por tanto, se tendría...

\delta\vec{r}=\delta x\ \vec{\imath} \;\;\Longrightarrow\;\;
\vec{f}_\mathrm{roz}\big\rfloor_\mathrm{eq}=f_\mathrm{roz}^\mathrm{\,eq}\, \vec{\imath}\ \mathrm{;}\;\;\;
\mathrm{con}\;\;\; |f_\mathrm{roz}^\mathrm{\,eq}|\leq \mu N^\mathrm{eq}

donde μ es el valor del coeficiente de rozamiento, aproximadamente el mismo para los casos estático y dinámico.

Nuevamente se tendrá que para que la partícula se encuentre en una posición de equilibrio Peq sobre la rampa, es condición necesaria que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (incluidas las vinculares) sea el vector nulo:

\overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}=\vec{r}_\mathrm{eq}=x_\mathrm{eq}\!\ \vec{\imath}\;\Longrightarrow\; \left[\vec{P}+ \vec{F}_{{}_K}(\vec{r})+\vec{N}+\vec{f}_\mathrm{roz}\right]_{P_\mathrm{eq}}=\vec{0}

Se obtienen dos ecuaciones algebraicas, que nos permiten determinar el valor de la fuerza de reacción normal del plano y la relación entre la componente de rozamiento y la posición de la partícula:

\left.\begin{array} {l}\displaystyle OX\;\;\longrightarrow\;\; -\frac{3}{5}\ mg + K(b-x_\mathrm{eq})+f_\mathrm{roz}^\mathrm{eq}=0\\ \\ \displaystyle OY\;\;\longrightarrow\;\;-\frac{4}{5}\ mg + N^\mathrm{eq}=0
\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;     \begin{array}{l}\displaystyle  f_\mathrm{roz}^\mathrm{eq}=K\!\ \left(x_\mathrm{eq}-\frac{2}{5}\ b\right)=f_\mathrm{roz}(x_\mathrm{eq}) \\  \\ \displaystyle N^\mathrm{eq}=\frac{4}{5}\ m\!\ g=\frac{4}{5}\ K\!\ b \end{array}

... donde hemos vuelto aplicar la condición de diseño Kb = mg. Nótese que el valor de la fuerza de reacción normal no ha sufrido cambios con respecto al resultado del apartado anterior. Al fin y al cabo, las modificaciones sufridas por el sistema al tener en cuenta el rozamiento sólo tendrán incidencia en la dirección del eje OX, no afectando por tanto a la fuerza \vec{N} que es perpendicular a dicha dirección. Por otra parte, recuérdese que en la situación de equilibrio la componente de la fuerza de rozamiento no es conocida a priori. Por tanto, las ecuaciones anteriores no permiten determinar por sí solas las posiciones de equilibrio de la partícula. Para poder obtenerlas ha de exigirse que se verifique también la condición de equilibrio expresada en la inecuación proporcionada por las leyes del rozamiento seco:

|f_\mathrm{roz}^\mathrm{\,eq}|\leq \mu\!\ N^\mathrm{eq} ;\;\longrightarrow    K\!\ \left|x_\mathrm{eq}-\frac{2}{5}\ b\right|\leq \mu\ \frac{4}{5}\ K\!\ b

Teniendo en cuenta los dos posibles valores del valor absoluto expresado en la anterior inecuación, obtenemos el rango de valores de \displaystyle x correspondiente a las posiciones de equilibrio de la partícula para el caso en que \mu_e\approx\mu= 1/2:

\left.\begin{array} {l}\displaystyle  \mathrm{Si}\;\;\; x_\mathrm{eq}\geq\frac{2}{5}\ b \;\;\Longrightarrow\;\; x_\mathrm{eq}-\frac{2}{5}\ b \leq \frac{2}{5}\ b \\ \\ \displaystyle  \mathrm{Si}\;\;\; x_\mathrm{eq}\leq\frac{2}{5}\ b \;\;\Longrightarrow\;\;\frac{2}{5}\ b- x_\mathrm{eq}\leq \frac{2}{5}\ b\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow    \overrightarrow{OP}_\mathrm{eq}=x_\mathrm{eq}\ \vec{\imath}\, \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,0\leq x_\mathrm{eq}\leq\frac{4}{5}\ b

De nuevo se da la circunstancia que en todo el rango de posiciones de equilibrio, la longitud del resorte va a ser menor que la natural b, por lo que \vec{F}_{{}_K} actuará en el sentido positivo del eje OX, empujando a la partícula para alejarla de O.

\vec{F}_{{}_K}(\vec{r}_\mathrm{eq})=F_{{}_K}(x_\mathrm{eq})\ \vec{\imath} \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\quad F_{{}_K}(x_\mathrm{eq})>0 \quad\mathrm{si}\quad 0\leq x_\mathrm{eq}\leq (4/5)\!\ b

Por su parte, el sentido de la fuerza de rozamiento en el equilibrio va a depender de cuál sea la posición de equilibrio:

\vec{f}_\mathrm{roz}\big\rfloor_\mathrm{eq}=f_\mathrm{roz} (x_\mathrm{eq})\ \vec{\imath} \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\quad\left\{\begin{array}{l} \displaystyle f_\mathrm{roz}(x_\mathrm{eq})< 0\mathrm{,} \quad\mathrm{si}\quad 0\leq x_\mathrm{eq}< (2/5)\!\ b\\ \\ \displaystyle f_\mathrm{roz}(x_\mathrm{eq}) >0\mathrm{,}\quad\mathrm{si}\quad (2/5)\!\ b< x_\mathrm{eq}\leq (4/5)\!\ b \end{array}\right.

Es decir, en posiciones de equilibrio por debajo de la correspondiente al caso sin rozamiento \displaystyle x_\mathrm{eq}^\mathrm{liso}=(2/5)\!\ b, la fuerza de rozamiento se opone a que la partícula ascienda por la rampa, bajo la acción dominante del resorte comprimido. Por el contrario, en posiciones de equilibrio por encima de x_\mathrm{eq}^\mathrm{liso}, la fuerza de rozamiento se opone a que la partícula descienda bajo la acción dominante de la fuerza peso.

2.3 Partícula ascendiendo con velocidad constante

Se plantea ahora determinar las características que debe tener una fuerza \vec{F}_\mathrm{ext} aplicada en dirección vertical sobre la partícula para que ésta ascienda por la rampa con velocidad constante \vec{v}_0. Es decir, debe tener la misma dirección que el vector $\vec{g}$, pero su intensidad deberá ser función de la posición de la partícula para conseguir el efecto deseado:

\vec{F}_\mathrm{ext}=F(x)\!\ \left[\frac{3}{5}\ \vec{\imath}\ +\ \frac{4}{5}\ \vec{\jmath}\!\ \right] \mathrm{,}\quad\mathrm{tal} \;\;\mathrm{que}\quad \vec{v}(t)=\vec{v}_0=v_0\ \vec{\imath}\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}

Aplicando las Leyes de la Dinámica para el punto material obtenemos que la condición necesaria de que dicha fuerza debe ser tal que la resultante de todas las fuerzas aplicadas cuando la partícula se halle en contacto con la rampa (incluida la de rozamiento), debe ser nula para cualquier valor de la variable x:

\vec{P}+\vec{F}_{{}_K}(\vec{r})+\vec{N}+\vec{f}_\mathrm{roz}+ \vec{F}_\mathrm{ext}(\vec{r})=m\ \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}

Es decir, en todo momento del recorrido por la rampa la fuerza aplicada deber ser opuesta a la suma de las otras fuerzas que actúan sobre la partícula. Nótese que la fuerza peso, la reacción normal del plano de la rampa y la fuerza del resorte tienen idénticas expresiones analíticas que en los apartados anteriores:

\displaystyle \vec{P}=-\frac{m\!\ g}{5}\ \big(3\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ 4\!\ \vec{\jmath}\!\ \big)\mathrm{;}\qquad\vec{F}_{{}_K}(\vec{r})=K\!\ \left(b-x\right)\!\ \vec{\imath}\mathrm{;}\qquad\vec{N}=N\ \vec{\jmath}\quad (\mathrm{con}\;\; N\geq 0)

Sin embargo, la fuerza de rozamiento ha cambiado, pues ahora la partícula se desplaza sobre la rampa. Según las leyes de Coulomb para el rozamiento seco, esta fuerzade rozamiento dinámico tiene igual dirección que la velocidad instantánea, sentido opuesto y módulo constante, proporcional al módulo de la reacción normal de la superficie de contacto:

-\vec{v}_0\; \|\;\vec{f}_\mathrm{roz}=-\mu_d\!\ |\vec{N}|\ \vec{\imath}=-\mu_d\!\ N\ \vec{\imath}\, \mathrm{;}

donde la constante de proporcionalidad μd es el coeficiente de rozamiento dinámico, que sólo depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto y que, en general, es ligeramente inferior al coeficiente estático, μe. No obstante, en el sistema bajo estudio se considera que ambos tienen un valor similar μ.

Procedemos a obtener las características de la fuerza aplicada:

\vec{F}_\mathrm{ext}(\vec{r})=-\bigg[\vec{P}+\vec{F}_{{}_K} (\vec{r})+\vec{N}+\vec{f}_\mathrm{roz}\bigg]\quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{3}{5}\ F(x)=\frac{3}{5}\ m\!\ g \!\  +\!\ K\!\ (x-b) + \mu\!\ N\\ \\ \displaystyle \frac{4}{5}\ F(x) = \frac{4}{5}\ m\!\ g \!\ -\!\ N \end{array} \right.

Contamos, por tanto, con un sistema de dos ecuaciones algebraicas que, en función de la posición de la partícula (es decir, para cada valor de la variable \displaystyle x), permite determinar la intensidad de la fuerza aplicada F(x), y la reacción normal de la superficie de la rampa que, a diferencia de los casos anteriormente analizados, va a ser función de la posición de la partícula, N = N(x). Aplicando el parámetro de diseño, mg = Kb, se obtiene:

\begin{array}{l} \displaystyle F(x)=\frac{K}{4\mu+3}\ \bigg[\!\ 2\!\ (2\mu-1)\ b\ +\ 5\!\ x\bigg]\\ \\ \displaystyle N(x)=\frac{K}{4\mu+ 3}\ 4\!\ (b-x) \end{array}

Es decir, la intensidad F(x) de la fuerza aplicada \vec{F}_\mathrm{ext}, debe crecer linealmente con la distancia de la partícula al punto O. En cuanto a la reacción normal del plano, recuérdese que al tratarse de un vínculo unilateral, la componente N deber ser no nula. De hecho, la posición en que ésta se anula se corresponde con el punto en que la partícula pierde contacto con el plano. Por tanto, independientemente del valor de μ o de la constante K se tendrá que

\vec{N}(\vec{r})=N(x)\ \vec{\jmath}\ \mathrm{,}\;\;\, \mathrm{con}\;\;\,N(x)\geq 0 \;\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\ \vec{\imath}\ \mathrm{,}\;\;\, \mathrm{con}\;\;\, 0\leq x\leq b

En consecuencia, la posición \displaystyle P_0(x_0,0) que se corresponde con el punto de la rampa en que la partícula pierde el contacto con aquélla, está determinada por el radio vector \displaystyle \overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0=b\ \vec{\imath}.

Consideremos el caso particular de que el coeficiente de rozamiento sea μ = (1 / 2). Para estas condiciones, la intensidad de la fuerza aplicada será directamente proporcional a la distancia x de la partícula al punto fijo O, siendo la constante de proporcionalidad la propia K del resorte. Por tanto, cuando la partícula alcanza el punto P0 en que pierde contacto, la fuerza aplicada habrá alcanzado su máxima intensidad:

F(x)\big\rfloor_{\mu= 1/2}= K\!\ x \quad\Longrightarrow\quad 0\leq F(x)\big\rfloor_{\mu= 1/2}\leq K\!\ b

2.4 Evaluación de los trabajos realizados en el sistema

Aunque en el enunciado sólo se piden los trabajos de la fuerza aplicada y de la de rozamiento, calcularemos los realizados por todas las fuerzas que intervienen en el sistema cuando la partícula se desplaza a velocidad constante, desde el punto O hasta el P0 en que se pierde el contacto:

W_i\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\int_O^{P_0}\!\vec{F}_i \cdot\mathrm{d}\vec{r}

Obviamente, la fuerza de reacción normal del plano, \vec{N} equivalente a la restricción geométrica impuesta por el contacto con el plano no realiza ningún trabajo, pues

\vec{N}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=0\,\mathrm{,}\quad \forall P\in\Sigma

En el caso de las fuerzas conservativas que intervienen en el sistema, fuerza peso y fuerza del resorte, el trabajo que realizan éstas es opuesto a la variación que sufre la correspondiente energía potencial:

\begin{array}{l} \displaystyle \delta W_\mathrm{g}=\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\mathrm{d}U_\mathrm{g}\,\mathrm{,}\quad\mathrm{tal} \;\;\mathrm{que}\quad U_\mathrm{g}[P(x)]-U_\mathrm{g}(O)=m\!\ g\!\ h(x)=m\!\ g\!\ x\!\ \,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\ \displaystyle \delta W_{{}_K}=\vec{F}_{{}_K} \cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\mathrm{d}U_{{}_K}\,\mathrm{,}\quad\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\quad U_{{}_K}[P(x)]=\frac{K}{2}\ \bigg(\!\ |\overrightarrow{OP}|-b\!\ \bigg)^2=\frac{K}{2}\ \big(x-b\!\ \big)^2 \end{array}

Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza peso en el proceso es:

W_\mathrm{g}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\int_O^{P_0}\!\delta W_\mathrm{g}=-\int_O^{P_0}\!\mathrm{d}U_\mathrm{g}=U_\mathrm{g}(O)-U_\mathrm{g}(P_0)\quad\Longrightarrow    W_\mathrm{g}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=-m\!\ g\!\ x_0\!\ \,\mathrm{sen}\,\alpha=-\frac{3}{5}\ m\!\ g\!\ b

Como se sabe, el signo negativo de esta cantidad de trabajo realizado indica que la fuerza peso se ha opuesto al movimiento ascendente de la partícula por la rampa.

Y el trabajo realizado por el resorte es:

W_{{}_K}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\int_O^{P_0}\!\delta W_{{}_K}=-\int_O^{P_0}\!\mathrm{d}U_{{}_K}=U_{{}_K}(O)-U_{{}_K}(P_0)\quad\Longrightarrow    W_{{}_K}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\frac{K}{2}\ \bigg[b^2-(x_0-b)^2\!\ \bigg]=\frac{K}{2}\ b^2

En este caso, el trabajo es positivo pues se corresponde con el proceso de descompresión del resorte hasta alcanzar su longitud natural cuando la partícula llega a \displaystyle P_0.

Las otras dos fuerzas susceptibles de realizar trabajo en el proceso, fuerza de rozamiento y fuerza aplicada son ambas no conservativas. La primera es un caso paradigmático de este tipo de fuerzas; en el caso de la fuerza aplicada, ésta tiene un carácter de fuerza motor que introduce energía en el sistema. Nótese que aunque hemos obtenido que la fuerza externa aplicada \vec{F}_\mathrm{ext} es función de la posición (dada por \displaystyle x), esto ha sido para un proceso muy concreto: la partícula se mueve realizando una traslación rectilínea uniforme. Si hubiésemos exigido otro tipo de movimiento, la expresión de F=|\vec{F}_\mathrm{ext}| habría sido también otra distinta a la obtenida en el apartado anterior. Por tanto, el trabajo realizado por ésta no sólo depende de las posiciones inicial y final, sino también del proceso seguido. Así que, para calcular el trabajo realizado por dicha fuerza, aplicaremos estrictamente su definición, teniendo en cuenta que la partícula se mueve con velocidad constante. Consideraremos también el caso particular planteado al final del apartado anterior en que el coeficiente de rozamiento tiene valor 1/2:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle W_\mathrm{ext}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\int_O^{P_0}\! \vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\\ \\
\displaystyle\mu=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\; \vec{F}_\mathrm{ext} (\vec{r})=K\!\ x\!\ \left(\frac{3}{5}\  \vec{\imath}\!\ + \!\ \frac{4}{5}\ \vec{\jmath}\!\ \right)\\ \\ \displaystyle v(t)=v_0\ \vec{\imath} \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\ \vec{\imath}
\end{array}\right\}\,\Longrightarrow    W_\mathrm{ext}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\frac{3}{5}\ K\!\ \int_0^{x_0=b}\! x \!\ \mathrm{d}x=\frac{3}{10}\ K\!\  b^2

Para calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento podemos seguir el mismo procedimiento, teniendo en cuenta que el módulo de dicha fuerza está determinado por la componente N(x) de la reacción normal del plano-rampa:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle W_\mathrm{roz}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\int_O^{P_0}\! \vec{f}_\mathrm{roz}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\\ \\
\displaystyle\mu=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\; \vec{f}_\mathrm{roz}(\vec{r})=-\mu\!\ N(x)\!\ \vec{\imath}=-\frac{2}{5}\ K\!\ (b-x)\ \vec{\imath}\\ \\ \displaystyle v(t)=v_0\ \vec{\imath}\;\Longrightarrow\; \mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\ \vec{\imath}\end{array}\right\}\,\Longrightarrow    W_\mathrm{roz}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=\frac{2}{5}\ K\ \int_0^{x_0=b}\! (x - b) \ \mathrm{d}x=-\frac{K}{5}\ b^2

Obsérvese que el trabajo de la fuerza de rozamiento podría haberse calculado fácilmente, una vez conocidos los realizados por las otras fuerzas implicadas, sin más que aplicar el teorema de la fuerzas vivas, que establece que la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas que actúa sobre la partícula se emplea en el cambio de su energía cinética:

\forall\, \mathrm{d}t\mathrm{,}\quad\sum_i\delta W_i =\mathrm{d}E_\mathrm{c}\quad\Longrightarrow\quad \bigg[W_\mathrm{g}+ W_{{}_K}+ W_\mathrm{ext}+ W_\mathrm{roz}\bigg]_{O\rightarrow P_0}=E_\mathrm{c}(P_0)- E_\mathrm{c}(O)

En el caso del sistema bajo estudio, en que la partícula se mueve con velocidad constante, se tendrá que no ha hay variación de la misma en el proceso; por tanto, la suma de todos los trabajos realizados en el proceso debe ser nula:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle E_\mathrm{c}(t)=\frac{1}{2}\ m\!\ |\vec{v}(t)|^2\\ \\ \displaystyle \vec{v}(t)=\vec{v}_0=v_0\ \vec{\imath}
\end{array}\right\}\,\Longrightarrow\; E_\mathrm{c}(O)=E_\mathrm{c}(P_0)=\frac{1}{2}\ m\!\ v_0^2 \quad\Longleftrightarrow\quad\bigg[W_\mathrm{g}+
W_{{}_K}+ W_\mathrm{ext}+ W_\mathrm{roz}\bigg]_{O\rightarrow P_0}=0

La anterior relación algebraica permite determinar el trabajo de la fuerza de rozamiento a partir de los otros trabajos:

W_\mathrm{roz}\big\rfloor_{O\rightarrow P_0}=-\bigg[W_\mathrm{g}+
W_{{}_K}+ W_\mathrm{ext}\bigg]_{O\rightarrow P_0}=\frac{3}{5}\ m\!\ g \!\ b \!\ -\!\ \frac{1}{2}\ K \!\ b^2-\!\ \frac{3}{10}\ K \!\ b^2 \!\ =-\frac{1}{5}\ K\!\ b^2

... donde nuevamente se ha tenido en cuenta la condición de diseño \, mg=Kb.

Obviamente, también podría haberse calculado primero el trabajo de la fuerza de rozamiento y determinar luego el trabajo de la fuerza motor aplicando el teorema de las fuerzas vivas.

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